Câu 41: (MH Toan 2020) Cho \(x\), \(y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _9}x = {\log _6}y = {\log _4}(2x + y)\). Giá trị của \(\frac{x}{y}\) bằng

Câu 41: (MH Toan 2020) Cho \(x\), \(y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _9}x = {\log _6}y = {\log _4}(2x + y)\). Giá trị của \(\frac{x}{y}\) bằng
A. \(2\).
B. \(\frac{1}{2}\).
C. \({\log _2}\left( {\frac{3}{2}} \right)\).
D. \({\log _{\frac{3}{2}}}2\).

Lời giải

Đáp án: B

Đặt \(t = {\log _9}x = {\log _6}y = {\log _4}\left( {2x + y} \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{9^t} = x}\\{{6^t} = y}\\{2x + y = {4^t}}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow {2.9^t} + {6^t} = {4^t} \Leftrightarrow 2.{\left( {\frac{9}{4}} \right)^t} + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} = 1 \Leftrightarrow 2.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2t}} + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} = – 1\\{\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} = \frac{1}{2}\)
Ta có: \(\frac{x}{y} = \frac{{{9^t}}}{{{6^t}}} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} = \frac{1}{2}\)