Đề bài: Cho hàm số: $y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số.2) Tìm k để đường thẳng $y = kx + 1$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$.3) Tìm quỹ tích trung điểm $I$ của đoạn $AB$ khi $k$ thay đổi
Lời giải
$1)$ Dành cho bạn đọc.
$2)$ Đường thẳng $y = kx + 1$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt khi phương trình
$\frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}} = kx + 1$ có hai nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow \left( {1 – k} \right){x^2} + \left( {3 – 2k} \right)x + 1 = 0$ có $2$ nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 – k \ne \\
\Delta = {\left( {3 – 2k} \right)^2} – 4\left( {1 – k} \right) = 4{\left( {k – 1} \right)^2} + 1 > 0,
\end{array} \right.$
được nghiệm đúng với mọi $k \ne 1$.
$3)$ Trung điểm $I$ có hoành độ ${x_1} = \frac{{2k – 3}}{{2\left( {k – 1} \right)}} \Rightarrow k = \frac{{2{x_1} + 3}}{{2{x_1} + 2}}$
Vậy các tọa độ của $I$ thỏa mãn hệ thức:
$y = kx + 1 = \frac{{x\left( {2x + 3} \right)}}{{2x + 2}} + 1 = \frac{{2{x^2} + 5x + 2}}{{2x + 2}}$ $(1)$
Vì $x \ne – 1$ suy ra quỹ tích của $I$ là toàn bộ đồ thị hàm số $ (1)$
Trả lời