Đề: Cho hàm số $y=\frac{(m-1)(x^2-2x)+m+4}{mx+m} $,   với tham số $m$ lấy  mọi giá trị khác $0$ và khác $ – \frac{1}{4}$.1)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với $m = 2$.2)    Với những giá trị nào của m thì đồ thị tiếp xúc với đường thẳng $y = 1$3)    Chứng minh rằng với mọi giá trị đã nêu của $m$, thì đồ thị của hàm số có một đường tiệm cận cố định, còn đường tiệm cận thứ hai luôn đi qua một điểm cố định

Đề bài: Cho hàm số $y=\frac{(m-1)(x^2-2x)+m+4}{mx+m} $,   với tham số $m$ lấy  mọi giá trị khác $0$ và khác $ – \frac{1}{4}$.1)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với $m = 2$.2)    Với những giá trị nào của m thì đồ thị tiếp xúc với đường thẳng $y = 1$3)    Chứng minh rằng với mọi giá trị đã nêu của $m$, thì đồ thị của hàm số có một đường tiệm cận cố định, còn đường tiệm cận thứ hai luôn đi qua một điểm cố định

Lời giải

$1)$    Dành cho bạn đọc.

$2)$    Đường thẳng $y = 1$ tiếp xúc với đồ thị của hàm số khi phương trình
$\frac{{\left( {m – 1} \right)\left( {{x^2} – 2x} \right) + m + 4}}{{mx + m}} = 1$ có nghiệm kép,
Tức là khi $\left( {m – 1} \right)\left( {{x^2} – 2x} \right) + m + 4 = mx + m$ có nghiệm kép,
Hay         $\left( {m – 1} \right){x^2} + \left( {2 – 3m} \right)x + 4 = 0$ có nghiệm kép
        $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m – 1 \ne 0\\
\Delta  = {\left( {2 – 3m} \right)^2} – 16\left( {m – 1} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2,m = 10/9$

$3)$    Viết biểu thức của y dưới dạng:
$y = \frac{1}{m}\left[ {\left( {m – 1} \right)\left( {x – 3} \right) + \frac{{4m + 1}}{{x + 1}}} \right]$
$\Leftrightarrow $ đồ thị y có tiệm cận đứng $x = – 1$(cố định), tiệm cận xiên  $y = \frac{1}{m}\left( {m – 1} \right)\left( {x – 3} \right)$
Dễ thấy rằng tiệm cận xiên luôn đi qua điểm cố định $\left( {3,0} \right),\forall m \ne 0.$