Đề bài: Cho hàm số $y = {x^3} – 3a{x^2} + 4{a^3}$.1) Với $a > 0$ cố định, hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Xác định $a$ để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị là đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$.3) Xác định $a$ để đường thẳng $y = x$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt $A, B, C$ với $AB = BC$
Lời giải
$1)$ Dành cho bạn đọc.
$2)$ Ta có $y’ = 3x(x – 2a) \Rightarrow y$
có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi $a \ne 0$. Tọa độ cực đại, cực tiểu
là $A(0{\rm{ , 4}}{{\rm{a}}^3}),{\rm{ B(2a , 0)}}$. Theo giả thiết $A,
B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$, khi đó $I$ là trung điểm của
$AB$ và có tọa độ
${x_1} = (2a + 0)/2 = a,{\rm{ }}{{\rm{y}}_1} = (4{a^3} + 0)/2 = 2{a^3}$.
Lại do I thuộc đường thẳng $y = x$ nên ta có
${y_I} = {x_I} = 2{a^3} = a \Leftrightarrow a = \pm \sqrt 2 /2$ ( do $a \ne 0$)
Đáp số: $a = \pm \sqrt 2 /2$.
$3)$
Gọi ${x_1},{x_2},{x_3}$ lần lượt là hoành độ của $A, B, C$; theo giả
thiết ta có $2{x_2} = {x_1} + {x_3}$ $(1)$ và ${x_1},{x_2},{x_3}$ là
nghiệm của phương trình
${x^3} – 3a{x^2} + 4{a^3} = x \Leftrightarrow {x^3} – 3a{x^2} – x + 4{a^3} = 0$.
Khi đó ta có
${x^3} – 3a{x^2} – x + 4{a^3} = (x – {x_1})(x – {x_2})(x – {x_3})$
$ = {x^3} – ({x_1} + {x_2} + {x_3}){x^2} + ({x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3})x – {x_1}{x_2}{x_3}$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + {x_3} = 3a{\rm{ (2)}}\\
{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3} = – 1{\rm{ (3)}}\\
{x_1}{x_2}{x_3} = 4{a^3}{\rm{ (4)}}
\end{array} \right.$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có ${x_2} = a,{\rm{ }}{{\rm{x}}_1} + {x_3} = 2a$; thế vào (3) ta được ${x_1}{x_3} = – (1 + 2{a^2})$.
Từ $(4)$ ta có $ – 4{a^3} = {x_1}{x_2}{x_3} = – a(1 + 2{a^2}) \Leftrightarrow a = 0,{\rm{ a}} = \pm \sqrt 2 /2$
Trả lời