====
Câu hỏi:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi\((P):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) (với \(a > 0,b > 0,c > 0\)) là mặt phẳng đi qua điểm \(H(1;1;2)\) và cắt \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,B,C\)sao cho khối tứ diện \(OABC\) có thể tích nhỏ nhất. Tính \(S = a + 2b + c\).
- A. \(S = 15\).
- B. \(S = 5\).
- C. \(S = 10\).
- D. \(S = 4\).
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: A
Ta có: \(A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\) và \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}abc\).
Vì \(H \in (P)\) nên \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{c} = 1\) (1)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương \(\frac{1}{a}\), \(\frac{1}{b}\) và \(\frac{2}{c}\), ta có:
\({\left( {\frac{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{c}}}{3}} \right)^3} \ge \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{2}{c}\) (2) (dấu “=” xảy ra khi \(\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{2}{c}\))
Từ (1) và (2), suy ra \(abc \ge \frac{2}{{27}}\), hay \(V \ge \frac{4}{9}\); \(V = \frac{4}{9} \Leftrightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{2}{c}\), suy ra \(a = b = 3,c = 6\)(do (1)).
Vậy: \(S = a + 2b + c = 15\)
=======|+|
Xem lại lý thuyết Phương pháp tọa độ trong không gian
Trả lời