Câu hỏi:
Giá trị của m để hàm số \(f\left( x \right) = m\left( {1 + \sqrt {1 + x} } \right) – x\) có giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {3;8} \right]\) bằng 3 là:
- A.1
- B.2
- C.4
- D.3
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: B
Ta có \(f’\left( x \right) = {\left[ {m\left( {1 + \sqrt {1 + x} } \right) – x} \right]^\prime } = \frac{m}{{2\sqrt {1 + x} }} – 1 \Rightarrow f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{m}{{2\sqrt {1 + x} }} – 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{{m^2} – 4}}{4}\)
Tính các giá trị \(f\left( 3 \right) = 3m – 3;f\left( 8 \right) = 4m – 8;f\left( {\frac{{{m^2} – 4}}{4}} \right) = {\left( {\frac{{m + 2}}{2}} \right)^2}\)
TH1: Nếu \(f\left( 3 \right) = 3m – 3 = 3 \Leftrightarrow m = 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( 8 \right) = 0\\x = \frac{{{m^2} – 4}}{5} = 0 \notin \left[ {3;8} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {3;8} \right]} = 3\)
TH2: Nếu \(f\left( 8 \right) = 4m – 8 = 3 \Rightarrow m = \frac{{11}}{4} \Rightarrow f\left( 3 \right) = \frac{{21}}{4} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {3;8} \right]} f\left( x \right) \ne 3\)
TH3: Nếu
\(f\left( {\frac{{{m^2} – 4}}{4}} \right) = {\left( {\frac{{m + 2}}{2}} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 2 – 2\sqrt 3 \Rightarrow x = \frac{{{m^2} – 4}}{4} = 3 + 2\sqrt 3 \\m = – 2 + 2\sqrt 3 \Rightarrow x = \frac{{{m^2} – 4}}{4} = 3 – 2\sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {3;8} \right]} f\left( x \right) \ne 3\)
Suy ra \(m = 2\)thì hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {3;8} \right]\) bằng 3.
=====
Mời các bạn xem lại Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Trả lời