Câu hỏi:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {\cos ^4}x + {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\sin x\cos x.\)
- A.\({\rm{max y = }}\frac{7}{8}.\)
- B. \({\rm{max y = }}\frac{5}{4}.\)
- C.\({\rm{max y = }}\frac{{17}}{{16}}.\)
- D.\({\rm{max y = }}\frac{{15}}{{16}}.\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: C
Ta có \(y = {\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right)^2} + \frac{{1 – \cos 2x}}{2} + \frac{1}{4}\sin 2x\)
\( = \frac{{1 + 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x}}{4} + \frac{{1 – \cos 2x}}{2} + \frac{1}{4}\sin 2x\)
\( = \frac{3}{4} + \frac{{{{\cos }^2}2x + \sin 2x}}{4} = \frac{3}{4} + \frac{{1 – {{\sin }^2}2x + \sin 2x}}{4}\)
Xét hàm số \(f(x) = 1 – {\sin ^2}2x + \sin 2x\)
Đặt \(t = \sin 2x,\) ta có hàm số: \(g(t) = 1 – {t^2} + t,t \in \left( { – 1;1} \right)\)
\(\begin{array}{l}g'(t) = – 2t + 1\\g'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\end{array}\)
Ta có: \(g( – 1) = – 1;g(1) = 1;g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{5}{4}\)
Vậy \(\max g(t) = \max f(x) = \frac{5}{4}\)
Suy ra: \(\max y = \frac{3}{4} + \frac{{\frac{5}{4}}}{4} = \frac{{17}}{{16}}.\)
=====
Mời các bạn xem lại Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Trả lời