Câu hỏi:
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 – x} – \sqrt {x + 1} .\sqrt {3 – x}\).
- A.\(m = \frac{9}{{10}}\)
- B.\(m = 2\sqrt 2 – 1\)
- C.\(m = \frac{8}{{10}}\)
- D.\(m = 2\sqrt 2 – 2\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: D
Đặt
\(t = \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 – x} \,(t \ge 0) \Rightarrow {t^2} = 4 + 2\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 – x} \ge 4 \Rightarrow t \ge 2\)
Mặt khác:
\(2\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 – x} \le \left( {1 + x} \right) + \left( {3 – x} \right) = 4 \Rightarrow {t^2} \le 8 \Rightarrow t \le 2\sqrt 2\)
\(\Rightarrow t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\)
Ta có: \(\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 – x} = \frac{{{t^2} – 4}}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 – x} – \sqrt {1 + x} .\sqrt {3 – x} = t – \frac{{{t^2} – 4}}{2} = – \frac{{{t^2}}}{2} + t + 2\)
Xét hàm số \(f(t) = – \frac{{{t^2}}}{2} + t + 2\) trên \(\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\)
Ta có: \(f'(t) = – t + 1 \Leftrightarrow t = 1 \notin \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\)
\(f(2) = 2\)
\(f(2\sqrt 2 ) = 2\sqrt 2 – 2\)
\(\Rightarrow \mathop {\min y}\limits_{\left[ { – 1;3} \right]} = \mathop {\min f(t)}\limits_{\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]} = f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 – 2\)
=====
Mời các bạn xem lại Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Trả lời