Đề: Tập hợp nào dưới đây chứa tất cả các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {{x^2} – 2{\rm{x}} + m} \right|\) trên đoạn \(\left[ { – 1;2} \right]\) bằng 5.

Đặt \(t = {x^2} – 2{\rm{x}} + 1 = {\left( {x – 1} \right)^2},\,\,x \in \left[ { – 1;2} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;4} \right].\) Ta có: \(y = f\left( t \right) = \left| {t + m – 1} \right|.\)

\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} y = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( t \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} \left\{ {f\left( 0 \right);f\left( 4 \right)} \right\} = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} \left\{ {\left| {m – 1} \right|,\left| {m + 3} \right|} \right\}\)

TH1: Với \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} y = \left| {m – 1} \right|\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {m – 1} \right| \ge \left| {m + 3} \right|\\\left| {m – 1} \right| = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le  – 1\\\left| {m – 1} \right| = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  – 4.\)

TH2: Với \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} y = \left| {m + 3} \right|\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {m + 3} \right| \ge \left| {m – 1} \right|\\\left| {m + 3} \right| = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge  – 1\\\left| {m + 3} \right| = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2.\)

Vậy các giá trị của m tìm được thỏa mãn tập hợp \(\left( { – 5; – 2} \right) \cup \left( {0;3} \right).\)