📌 Đề bài:
Tìm chu kì tuần hoàn $T$ của hàm số $y = 2\cos\left(3x – \frac{\pi}{4}\right) + 1$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Cho hàm số lượng giác dạng tổng quát với hệ số góc $a \neq 0$:
- Hàm số $y = \sin(ax + b)$ và $y = \cos(ax + b)$ tuần hoàn với chu kì: $$T = \frac{2\pi}{|a|}$$
- Hàm số $y = \tan(ax + b)$ và $y = \cot(ax + b)$ tuần hoàn với chu kì: $$T = \frac{\pi}{|a|}$$
- Việc cộng hoặc nhân thêm một hằng số $k$ (ví dụ: $y = A\cos(ax + b) + C$) không làm thay đổi chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Xét hàm số: $y = 2\cos\left(3x – \frac{\pi}{4}\right) + 1$.
Bước 1: Xác định dạng hàm số và các hệ số tương ứng.
Hàm số có dạng $y = A\cos(ax + b) + C$, trong đó:
– Hệ số đứng trước biến $x$ là: $a = 3$.
– Hệ số tự do và biên độ: $b = -\frac{\pi}{4}$, $A = 2$, $C = 1$.
Bước 2: Áp dụng công thức tính chu kì cho hàm cosin:
Chu kì tuần hoàn $T$ của hàm số $y = \cos(ax + b)$ được xác định bởi công thức:$$T = \frac{2\pi}{|a|} = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$$
Bước 3: Kiểm tra lại định nghĩa chu kì tuần hoàn:
Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta có $x + \frac{2\pi}{3} \in \mathbb{R}$ và:$$y\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = 2\cos\left(3\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) – \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 2\cos\left(3x + 2\pi – \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 2\cos\left(3x – \frac{\pi}{4}\right) + 1 = y(x)$$Hơn nữa, $\frac{2\pi}{3}$ là số dương nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức trên.
👉 Kết luận: Chu kì tuần hoàn của hàm số là $T = \frac{2\pi}{3}$. Chọn đáp án B.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tìm chu kì tuần hoàn $T$ của hàm số $y = \sin\left(4x + \frac{\pi}{6}\right)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Hàm số có dạng $y = \sin(ax + b)$ với hệ số $a = 4$.
Chu kì tuần hoàn là: $T = \frac{2\pi}{|a|} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
Đáp số: $T = \frac{\pi}{2}$.
Bài tập 2: Tìm chu kì tuần hoàn $T$ của hàm số $y = \tan\left(2x – \frac{\pi}{3}\right)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Hàm số tang có dạng $y = \tan(ax + b)$ với $a = 2$.
Công thức chu kì hàm số tang là $T = \frac{\pi}{|a|}$. Do đó: $T = \frac{\pi}{|2|} = \frac{\pi}{2}$.
Đáp số: $T = \frac{\pi}{2}$.
Bài tập 3: Tìm chu kì tuần hoàn $T$ của hàm số $y = \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{5}\right)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Hàm số có dạng $y = \cos(ax + b)$ với hệ số $a = \frac{1}{2}$.
Chu kì tuần hoàn là: $T = \frac{2\pi}{\left|\frac{1}{2}\right|} = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.
Đáp số: $T = 4\pi$.
Bài tập 4: Tìm chu kì tuần hoàn $T$ của hàm số $y = 5\cot\left(3x\right) – 2$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Hàm số cotang dạng $y = A\cot(ax + b) + C$ có hệ số $a = 3$.
Chu kì tuần hoàn là: $T = \frac{\pi}{|a|} = \frac{\pi}{3}$.
Đáp số: $T = \frac{\pi}{3}$.
Bài tập 5: Tìm chu kì tuần hoàn $T$ của hàm số $y = \sin(2x) + \cos(3x)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Hàm số $y_1 = \sin(2x)$ có chu kì $T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Hàm số $y_2 = \cos(3x)$ có chu kì $T_2 = \frac{2\pi}{3}$.
Chu kì $T$ của hàm số $y = y_1 + y_2$ là bội chung nhỏ nhất dương của $T_1$ và $T_2$:
$T = 2\pi$ (vì $2\pi = 2 \cdot T_1 = 3 \cdot T_2$).
Đáp số: $T = 2\pi$.
Để lại phản hồi