98. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) như hình bên

Xét hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) + {x^2}\). Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu hỏi: 98. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) như hình bên

Xét hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) + {x^2}\). Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \(g\left( 1 \right) < g\left( { – 2} \right) < g\left( 3 \right)\).

B. \(g\left( { – 2} \right) > g\left( 3 \right) = g\left( 1 \right)\).

C. \(g\left( { – 2} \right) < g\left( 3 \right) < g\left( 1 \right)\).

D. \(g\left( 1 \right) < g\left( 3 \right) < g\left( { – 2} \right)\).

Lời giải

Ta có \(g’\left( x \right) = 2f’\left( x \right) + 2x = 2\left[ {f’\left( x \right) – \left( { – x} \right)} \right]\).

Vẽ đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) và đường thẳng \(y =  – x\) trên cùng một hệ trục như hình vẽ sau:

Gọi \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\), đường thẳng \(y =  – x\) và các đường thẳng \(x =  – 2\), \(x = 1\).

Ta có \({S_1} =  – \int\limits_{ – 2}^1 {\left[ {f’\left( x \right) – \left( { – x} \right)} \right]{\rm{d}}x}  =  – \frac{1}{2}\int\limits_{ – 2}^1 {g’\left( x \right){\rm{d}}x}  =  – \frac{1}{2}\left. {g\left( x \right)} \right|_{ – 2}^1 =  – \frac{1}{2}\left[ {g\left( 1 \right) – g\left( { – 2} \right)} \right]\).

Gọi \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\), đường thẳng \(y =  – x\) và các đường thẳng \(x = 1\), \(x = 3\).

Ta có \({S_1} = \int\limits_1^3 {\left[ {f’\left( x \right) – \left( { – x} \right)} \right]{\rm{d}}x}  = \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {g’\left( x \right){\rm{d}}x}  = \frac{1}{2}\left. {g\left( x \right)} \right|_1^3 = \frac{1}{2}\left[ {g\left( 3 \right) – g\left( 1 \right)} \right]\).

Mà ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_1} > 0\\{S_2} > 0\\{S_1} > {S_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – \frac{1}{2}\left[ {g\left( 1 \right) – g\left( { – 2} \right)} \right] > 0\\\frac{1}{2}\left[ {g\left( 3 \right) – g\left( 1 \right)} \right] > 0\\ – \frac{1}{2}\left[ {g\left( 1 \right) – g\left( { – 2} \right)} \right] > \frac{1}{2}\left[ {g\left( 3 \right) – g\left( 1 \right)} \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( { – 2} \right) > g\left( 1 \right)\\g\left( 3 \right) > g\left( 1 \right)\\g\left( { – 2} \right) > g\left( 3 \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow g\left( 1 \right) < g\left( 3 \right) < g\left( { – 2} \right)\).

Chọn đáp án D.

==================== Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân