Xét hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) + {x^2}\). Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(g\left( 1 \right) < g\left( { – 2} \right) < g\left( 3 \right)\).
B. \(g\left( { – 2} \right) > g\left( 3 \right) = g\left( 1 \right)\).
C. \(g\left( { – 2} \right) < g\left( 3 \right) < g\left( 1 \right)\).
D. \(g\left( 1 \right) < g\left( 3 \right) < g\left( { – 2} \right)\).
Lời giải
Ta có \(g’\left( x \right) = 2f’\left( x \right) + 2x = 2\left[ {f’\left( x \right) – \left( { – x} \right)} \right]\).
Vẽ đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = – x\) trên cùng một hệ trục như hình vẽ sau:
Gọi \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\), đường thẳng \(y = – x\) và các đường thẳng \(x = – 2\), \(x = 1\).
Ta có \({S_1} = – \int\limits_{ – 2}^1 {\left[ {f’\left( x \right) – \left( { – x} \right)} \right]{\rm{d}}x} = – \frac{1}{2}\int\limits_{ – 2}^1 {g’\left( x \right){\rm{d}}x} = – \frac{1}{2}\left. {g\left( x \right)} \right|_{ – 2}^1 = – \frac{1}{2}\left[ {g\left( 1 \right) – g\left( { – 2} \right)} \right]\).
Gọi \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\), đường thẳng \(y = – x\) và các đường thẳng \(x = 1\), \(x = 3\).
Ta có \({S_1} = \int\limits_1^3 {\left[ {f’\left( x \right) – \left( { – x} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {g’\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\left. {g\left( x \right)} \right|_1^3 = \frac{1}{2}\left[ {g\left( 3 \right) – g\left( 1 \right)} \right]\).
Mà ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_1} > 0\\{S_2} > 0\\{S_1} > {S_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – \frac{1}{2}\left[ {g\left( 1 \right) – g\left( { – 2} \right)} \right] > 0\\\frac{1}{2}\left[ {g\left( 3 \right) – g\left( 1 \right)} \right] > 0\\ – \frac{1}{2}\left[ {g\left( 1 \right) – g\left( { – 2} \right)} \right] > \frac{1}{2}\left[ {g\left( 3 \right) – g\left( 1 \right)} \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( { – 2} \right) > g\left( 1 \right)\\g\left( 3 \right) > g\left( 1 \right)\\g\left( { – 2} \right) > g\left( 3 \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow g\left( 1 \right) < g\left( 3 \right) < g\left( { – 2} \right)\).
Chọn đáp án D.
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tích phân
Trả lời