21. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ sau:

DẠNG TOÁN CỰC TRỊ HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
21. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ sau:

giá trị của \(a\) để hàm số \(g\left( x \right) = \left| {4f\left( x \right) + {x^2} – a} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – 2\,;\,0} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {0\,;\,4} \right)\) là

A. \(a \le 4f\left( { – 2} \right) + 4\).

B. \(a < 4f\left( 4 \right) + 16\).

C. \(a < 4f\left( { – 2} \right) + 4\).

D. \(a \le 4f\left( 4 \right) + 16\).

Lời giải

Xét hàm số \(h\left( x \right) = 4f\left( x \right) + {x^2} – a\)

Ta có, \(h’\left( x \right) = 4\left[ {f’\left( x \right) + \frac{x}{2}} \right]\)\( \Rightarrow h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) + \frac{x}{2} = 0\)

Khi đó, nghiệm phương trình \(f’\left( x \right) + \frac{x}{2} = 0\) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số\(y = f’\left( x \right)\) và đường thẳng \(y =  – \frac{x}{2}\) (hình vẽ)

Từ đây ta có \(f’\left( x \right) + \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – 2\\x = 0\\x = 4\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Gọi \({S_1},\,\,{S_2}\) lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) và đường thẳng \(y =  – \frac{x}{2}\) trên đoạn \(\left[ { – 2\,;\,0} \right]\) và \(\left[ {0\,;\,4} \right]\), ta có

\(\left| {\int\limits_{ – 2}^0 {\left( {f’\left( x \right) – \frac{x}{2}} \right)} } \right|dx = \left. {\left[ {f\left( x \right) – {x^2}} \right]} \right|_{ – 2}^0 = {S_1}\)\( \Rightarrow 4\left. {\left[ {f\left( x \right) – {x^2}} \right]} \right|_{ – 2}^0 = 4{S_1} \Rightarrow h\left( 0 \right) – h\left( { – 2} \right) = 4{S_1}\) \(\left( 1 \right)\)

\(\left| {\int\limits_0^4 {\left( {f’\left( x \right) – \frac{x}{2}} \right)} dx} \right| = \left. {\left[ { – f\left( x \right) + {x^2}} \right]} \right|_0^4 = {S_2}\)\( \Rightarrow 4\left. {\left[ { – f\left( x \right) + {x^2}} \right]} \right|_0^4 = 4{S_2} \Rightarrow h\left( 0 \right) – h\left( 4 \right) = 4{S_2}\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\) và \({S_2}\, > {S_1}\) \( \Rightarrow h\left( { – 2} \right) > h\left( 4 \right)\)

Khi đó, yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi \(h\left( 4 \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow a \le 4f\left( 4 \right) + 16\).

===========