Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

Ví dụ 1: (diện tích hình phẳng)

Tính diện tích tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \(y = {x^3},\) trục hoành và hai đường thẳng \(x = – 1,x = 2.\)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong \(y = {x^3}\) và trục hoành:

Diện tích hình phẳng cần tính:

\(S = \int\limits_{ – 1}^0 {\left| {{x^3}} \right|dx + \int\limits_0^2 {\left| {{x^3}} \right|dx} = \int\limits_{ – 1}^0 {\left( { – {x^3}} \right)} dx + \int\limits_0^2 {{x^3}dx} }\) \(= \left. { – \frac{{{x^4}}}{4}} \right|_{ – 1}^0 + \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_0^2 = \frac{{17}}{4}\)

Ví dụ 2:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \left( {e + 1} \right)x\) và \(y=(1+e^x)x.\)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là:\(\left( {e + 1} \right)x = \left( {1 + {e^x}} \right)x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {{e^x} = e} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right.\)

Nhận xét, với \(x \in \left[ {0;1} \right]\) thì hiệu số \(\left( {1 + {e^x}} \right)x – \left( {e + 1} \right)x = x\left( {{e^x} – e} \right) > 0.\)

Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {1 + {e^x}} \right)x – \left( {e + 1} \right)x} \right|} dx = \int\limits_0^1 {\left| {x\left( {{e^x} – e} \right)} \right|dx = \int\limits_0^1 {x\left( {{e^x} – e} \right)} dx}\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x}\\ {dv = \left( {e – {e^x}} \right)dx} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx}\\ {v = ex – {e^x}} \end{array}} \right.} \right.\)

\({ \Rightarrow S = x\left( {ex – {e^x}} \right)\left| {_0^1} \right. – \int\limits_0^1 {\left( {ex – {e^x}} \right)dx} }\) \(= \left( { – \frac{{e{x^2}}}{2} + {e^x}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{{e – 2}}{2}.\)

Ví dụ 3:. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
a) Đồ thị hàm số $y = x + \frac{1}{x}$ , trục hoành , đường thẳng x = 1 và x = 2
Ta có: $S=\int\limits_{1}^{2}(x+ \frac{1}{x})dx=( \frac{x^2}{2} +\ln x )|_{1}^{2}$

$=2+\ln 2-\frac{1}{2}-\ln 1=\frac{3}{2}-\ln 2$
b) Đồ thị hàm số $y = e^x +1$ , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
Ta có: $S=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}dx=\left( {{e}^{x}}+x \right)\left| _{0}^{1} \right.=e+1-1=e$
c) Đồ thị hàm số $y = x^3 – 4x$ , trục hoành , đường thẳng x = 2 và đường thẳng x = 4
Ta có: $S=\int\limits_{2}^{4}{\left( {{x}^{3}}-4x \right)}dx=\left( \frac{{{x}^{4}}}{4}-2{{x}^{2}} \right)\left| _{2}^{4}= \right.36$ (ĐVDT)

——-
Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi.
a) Đồ thị hàm số $y = x^3 – x; y = x – x^2$ .Đặt $f_{1}(x) = x^3 – x, f_{2}(x) = x – x^2$
Ta có $f_{1}(x) – f_{2}(x) = 0 <=> x^3 + x^2 – 2x = 0$ có 3 nghiệm x = -2; x = 0 ; x = 1
Vậy : Diện tích hình phẳng đã cho là :
$S=\int\limits_{-2}^{1}{\left| {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x \right|}dx$

$=\left| \int\limits_{-2}^{0}{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x \right)dx} \right|+\left| \int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{2}}+{{x}^{2}}-2x \right)dx} \right|=\frac{37}{12}$
b) Đồ thị hàm số y = cosx, y = sinx , đường thẳng $x=\frac{\pi }{2};x=\frac{3\pi }{2}$.
Ta có cosx – sinx = 0 <=> $x=\frac{5\pi }{4}\in \left[ \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right]$
Diện tích hình phẳng đã cho là:
$S=\int\limits_{\frac{\pi }{\text{2}}}^{\frac{3\pi }{2}}{\left| c\text{osx-sinx} \right|}dx=\int\limits_{\frac{\pi }{\text{2}}}^{\frac{5\pi }{4}}{\left| \text{sinx-cosx} \right|}dx+\int\limits_{\frac{5\pi }{\text{4}}}^{\frac{3\pi }{2}}{\left| c\text{osx-sinx} \right|}dx$
$=\left| \int\limits_{\frac{\pi }{\text{2}}}^{\frac{5\pi }{4}}{\left( \text{sinx-cosx} \right)}dx \right|+\left| \int\limits_{\frac{\text{5}\pi }{\text{4}}}^{\frac{3\pi }{3}}{\left( c\text{osx-sinx} \right)}dx \right|$

$=\left| -\left( \cos x+\sin x \right)\left| _{\frac{\pi }{2}}^{\frac{5\pi }{4}} \right. \right|+\left| \left( \sin x+\cos x \right)\left| _{\frac{5\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{2}} \right. \right|=$
$=\left| -\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)+1 \right|$+$\left| \left( -1 \right)-\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right|$

$=\left| \sqrt{2}+1 \right|+\left| -1+\sqrt{2} \right|=2\sqrt{2}$
c) Đồ thị hàm số (H) : $\left\{ \begin{align}
& y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1 \\
& y=1-x \\
& x=0,x=2 \\
\end{align} \right.$
S(H)=$\int\limits_{0}^{2}{\left| ({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1)-(1-x) \right|dx}$

$\int\limits_{0}^{2}{\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4x-2 \right|dx}$

=$\int\limits_{0}^{1}{(-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4x+2)dx+}$

$\int\limits_{1}^{2}{({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4x-2)dx}$
=$\left. \left( -\frac{{{x}^{4}}}{4}+{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2x \right) \right|_{0}^{1}\left. +\left( \frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-2x \right) \right|_{1}^{2}$
= $\left( -\frac{1}{4}+1-2+2 \right)+\left[ \left( 4-8+8-4 \right)-\left( \frac{1}{4}-1+2-2 \right) \right]$= $\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$
Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
a)Trục tung, trục hoành và đồ thị hàm số : $y=\frac{2x+1}{x+1}$ (Đề thi TN năm 2004-2005)
Đồ thị giao với trục hoành tại điểm $\left( -\frac{1}{2};0 \right)$ trục tung : x = 0.
Diện tích hình cần tìm là S = $\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{0}{\frac{2x+1}{x+1}dx=\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{0}{\left( \frac{2x+2-2+1}{x+1} \right)}dx=\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{0}{\left( 2-\frac{1}{x+1} \right)dx}}$
$=\left| \left( 2x-\ln \left| x+1 \right| \right)\left| _{-\frac{1}{2}}^{0} \right. \right|$$=-\left( -1-\ln \frac{1}{2} \right)=1+\ln 1-\ln 2=1-\ln 2$ (ĐVDT)
b) Đồ thị các hàm số :$y={{e}^{x}};y=2$và đường thẳng x=1 (Đề thi TN năm 2005-2006)
Giải PT : ${{e}^{x}}=2\Leftrightarrow x=\ln 2$ ; Diện tích hình phẳng cần tìm là :
S = $\int\limits_{\ln 2}^{1}{\left| {{e}^{x}}-2 \right|dx}$ =$\int\limits_{\ln 2}^{1}{\left( {{e}^{x}}-2 \right)}dx=\left( {{e}^{x}}-2x \right)\left| _{\ln 2}^{1} \right.=\left( e-2 \right)-\left( {{e}^{\ln 2}}-2\ln 2 \right)$
= $\left( e-2 \right)-\left( 2-2\ln 2 \right)=e+2\ln 2-4$ (ĐVDT)