• Skip to content
  • Skip to primary sidebar
  • Học toán
  • Sách toán
  • Môn Toán
  • Đề thi toán
  • Môn Lý
  • Môn Hóa
  • Môn Anh
  • Môn Sinh
  • Môn Văn
  • Bài mới

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán và Đề thi toán

You are here: Home / Toán lớp 12 / Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

31/01/2018 by admin Leave a Comment

Ôn lại lý thuyết:

  • Nếu hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \([a;b]\) thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} .\)
  • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f(x)\), \(y = g(x)\) và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) – g(x)} \right|dx}\)

Bài tập:

Ví dụ 1: (diện tích hình phẳng)

Tính diện tích tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \(y = {x^3},\) trục hoành và hai đường thẳng \(x = – 1,x = 2.\)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong \(y = {x^3}\) và trục hoành:

Diện tích hình phẳng cần tính:

\(S = \int\limits_{ – 1}^0 {\left| {{x^3}} \right|dx + \int\limits_0^2 {\left| {{x^3}} \right|dx} = \int\limits_{ – 1}^0 {\left( { – {x^3}} \right)} dx + \int\limits_0^2 {{x^3}dx} }\) \(= \left. { – \frac{{{x^4}}}{4}} \right|_{ – 1}^0 + \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_0^2 = \frac{{17}}{4}\)

Ví dụ 2:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \left( {e + 1} \right)x\) và \(y=(1+e^x)x.\)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là:\(\left( {e + 1} \right)x = \left( {1 + {e^x}} \right)x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {{e^x} = e} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right.\)

Nhận xét, với \(x \in \left[ {0;1} \right]\) thì hiệu số \(\left( {1 + {e^x}} \right)x – \left( {e + 1} \right)x = x\left( {{e^x} – e} \right) > 0.\)

Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {1 + {e^x}} \right)x – \left( {e + 1} \right)x} \right|} dx = \int\limits_0^1 {\left| {x\left( {{e^x} – e} \right)} \right|dx = \int\limits_0^1 {x\left( {{e^x} – e} \right)} dx}\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x}\\ {dv = \left( {e – {e^x}} \right)dx} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx}\\ {v = ex – {e^x}} \end{array}} \right.} \right.\)

\({ \Rightarrow S = x\left( {ex – {e^x}} \right)\left| {_0^1} \right. – \int\limits_0^1 {\left( {ex – {e^x}} \right)dx} }\) \(= \left( { – \frac{{e{x^2}}}{2} + {e^x}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{{e – 2}}{2}.\)

Ví dụ 3:. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
a) Đồ thị hàm số $y = x + \frac{1}{x}$ , trục hoành , đường thẳng x = 1 và x = 2
Ta có: $S=\int\limits_{1}^{2}(x+ \frac{1}{x})dx=( \frac{x^2}{2} +\ln x )|_{1}^{2}$

$=2+\ln 2-\frac{1}{2}-\ln 1=\frac{3}{2}-\ln 2$
b) Đồ thị hàm số $y = e^x +1$ , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
Ta có: $S=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}dx=\left( {{e}^{x}}+x \right)\left| _{0}^{1} \right.=e+1-1=e$
c) Đồ thị hàm số $y = x^3 – 4x$ , trục hoành , đường thẳng x = 2 và đường thẳng x = 4
Ta có: $S=\int\limits_{2}^{4}{\left( {{x}^{3}}-4x \right)}dx=\left( \frac{{{x}^{4}}}{4}-2{{x}^{2}} \right)\left| _{2}^{4}= \right.36$ (ĐVDT)

——-
Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi.
a) Đồ thị hàm số $y = x^3 – x; y = x – x^2$ .Đặt $f_{1}(x) = x^3 – x, f_{2}(x) = x – x^2$
Ta có $f_{1}(x) – f_{2}(x) = 0 <=> x^3 + x^2 – 2x = 0$ có 3 nghiệm x = -2; x = 0 ; x = 1
Vậy : Diện tích hình phẳng đã cho là :
$S=\int\limits_{-2}^{1}{\left| {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x \right|}dx$

$=\left| \int\limits_{-2}^{0}{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x \right)dx} \right|+\left| \int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{2}}+{{x}^{2}}-2x \right)dx} \right|=\frac{37}{12}$
b) Đồ thị hàm số y = cosx, y = sinx , đường thẳng $x=\frac{\pi }{2};x=\frac{3\pi }{2}$.
Ta có cosx – sinx = 0 <=> $x=\frac{5\pi }{4}\in \left[ \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right]$
Diện tích hình phẳng đã cho là:
$S=\int\limits_{\frac{\pi }{\text{2}}}^{\frac{3\pi }{2}}{\left| c\text{osx-sinx} \right|}dx=\int\limits_{\frac{\pi }{\text{2}}}^{\frac{5\pi }{4}}{\left| \text{sinx-cosx} \right|}dx+\int\limits_{\frac{5\pi }{\text{4}}}^{\frac{3\pi }{2}}{\left| c\text{osx-sinx} \right|}dx$
$=\left| \int\limits_{\frac{\pi }{\text{2}}}^{\frac{5\pi }{4}}{\left( \text{sinx-cosx} \right)}dx \right|+\left| \int\limits_{\frac{\text{5}\pi }{\text{4}}}^{\frac{3\pi }{3}}{\left( c\text{osx-sinx} \right)}dx \right|$

$=\left| -\left( \cos x+\sin x \right)\left| _{\frac{\pi }{2}}^{\frac{5\pi }{4}} \right. \right|+\left| \left( \sin x+\cos x \right)\left| _{\frac{5\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{2}} \right. \right|=$
$=\left| -\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)+1 \right|$+$\left| \left( -1 \right)-\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right|$

$=\left| \sqrt{2}+1 \right|+\left| -1+\sqrt{2} \right|=2\sqrt{2}$
c) Đồ thị hàm số (H) : $\left\{ \begin{align}
& y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1 \\
& y=1-x \\
& x=0,x=2 \\
\end{align} \right.$
S(H)=$\int\limits_{0}^{2}{\left| ({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1)-(1-x) \right|dx}$

$\int\limits_{0}^{2}{\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4x-2 \right|dx}$

=$\int\limits_{0}^{1}{(-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4x+2)dx+}$

$\int\limits_{1}^{2}{({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4x-2)dx}$
=$\left. \left( -\frac{{{x}^{4}}}{4}+{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2x \right) \right|_{0}^{1}\left. +\left( \frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-2x \right) \right|_{1}^{2}$
= $\left( -\frac{1}{4}+1-2+2 \right)+\left[ \left( 4-8+8-4 \right)-\left( \frac{1}{4}-1+2-2 \right) \right]$= $\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$
Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
a)Trục tung, trục hoành và đồ thị hàm số : $y=\frac{2x+1}{x+1}$ (Đề thi TN năm 2004-2005)
Đồ thị giao với trục hoành tại điểm $\left( -\frac{1}{2};0 \right)$ trục tung : x = 0.
Diện tích hình cần tìm là S = $\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{0}{\frac{2x+1}{x+1}dx=\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{0}{\left( \frac{2x+2-2+1}{x+1} \right)}dx=\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{0}{\left( 2-\frac{1}{x+1} \right)dx}}$
$=\left| \left( 2x-\ln \left| x+1 \right| \right)\left| _{-\frac{1}{2}}^{0} \right. \right|$$=-\left( -1-\ln \frac{1}{2} \right)=1+\ln 1-\ln 2=1-\ln 2$ (ĐVDT)
b) Đồ thị các hàm số :$y={{e}^{x}};y=2$và đường thẳng x=1 (Đề thi TN năm 2005-2006)
Giải PT : ${{e}^{x}}=2\Leftrightarrow x=\ln 2$ ; Diện tích hình phẳng cần tìm là :
S = $\int\limits_{\ln 2}^{1}{\left| {{e}^{x}}-2 \right|dx}$ =$\int\limits_{\ln 2}^{1}{\left( {{e}^{x}}-2 \right)}dx=\left( {{e}^{x}}-2x \right)\left| _{\ln 2}^{1} \right.=\left( e-2 \right)-\left( {{e}^{\ln 2}}-2\ln 2 \right)$
= $\left( e-2 \right)-\left( 2-2\ln 2 \right)=e+2\ln 2-4$ (ĐVDT)

Bài học cùng chương hoặc môn:

  1. Giáo án Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học
  2. Giáo án điện tử Ứng dụng Tích phân – Power Point
  3. Trắc nghiệm Ứng dụng của tích phân trong hình học
  4. Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học
  5. Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay
  6. Lý thuyết Ứng dụng của tích phân trong hình học

Chuyên mục: Toán lớp 12 Thẻ: Ung dung tich phan

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Primary Sidebar

Lớp 12 – Lớp 11 

Sách Toán © 2015 - 2018 - Giải bài tập Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, soạn Văn, Sách tham khảo và Đề thi.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn