Trong không gian (Oxyz) cho A( 0;0;10),B(3;4;6) Xét các điểm M thay đổi sao cho tam giác OAM không có góc tù và có diện tích bằng 15. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MB thuộc khoảng nào dưới đây?

Trong không gian \(Oxyz,\) cho \(A\left( {0;0;10} \right),B\left( {3;4;6} \right).\) Xét các điểm \(M\) thay đổi sao cho tam giác\(OAM\) không có góc tù và có diện tích bằng \(15.\) Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng \(MB\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {4;\,5} \right).\)

 B. \(\left( {3;\,4} \right).\)

 C. \(\left( {2;\,3} \right).\)

 D. \(\left( {6;\,7} \right).\)

Lời giải:

Chọn B

Ta có: \({S_{OAM}} = \frac{1}{2}OA.d\left( {M;\,OA} \right) = 15 \Rightarrow d\left( {M;\,OA} \right) = 3.\)

Suy ra: \(M\) di động trên mặt trụ, bán kính bằng \(3,\) trục là \(OA.\)

Xét điểm \(D\) như hình vẽ, \(\left\{ \begin{array}{l}HA.HO = H{D^2} = 9\\HA + HO = 10\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HA = 1\\HO = 9\end{array} \right..\)

Vì \(\widehat {AMO} \le 90\) nên giới hạn của \(M\) là hai mặt trụ với trục \(AH\) và \(FO.\)

Vì hình chiếu của \(B\) cách \(H\) gần hơn nên \(B{M_{\min }} = \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} .\)