Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Trên bức tường cần trang trí một hình phẳng dạng paranol đỉnh \(S\) như hình vẽ, biết \(OS = AB = 4{\rm{ m}}\), \(O\) là trung điểm của \(AB\). Parabol trên được chia thành ba phần để sơn ba màu khác nhau với mức chi phí: phần trên là phần kẻ sọc 140000 đồng/\({{\rm{m}}^2}\), phần giữa là hình quạt tâm \(O\), bán kính \(2{\rm{ m}}\)được tô đậm 150000 đồng/\({{\rm{m}}^2}\), phần còn lại 160000 đồng/\({{\rm{m}}^2}\). Tổng chi phí để sơn cả 3 phần gần nhất với số nào sau đây?
A. 1.597.000 đồng.
B. 1.625.000 đồng.
C. 1.575.000 đồng.
D. 1.600.000 đồng.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Dựng hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ.
Gọi parabol \(\left( P \right)\) có phương trình: \(y = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\). Khi đó \(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(S\left( {0,4} \right)\), \(A\left( { – 2;0} \right)\) và \(B\left( {2;0} \right)\).
Suy ra ta có \(\left\{ \begin{array}{l}c = 4\\4a – 2b + c = 0\\4a + 2b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\b = 0\\c = 4\end{array} \right.\). Vậy parabol \(\left( P \right)\): \(y = – {x^2} + 4\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\) và bán kính \(OA = 2\).
Khi đó phương trình \(\left( C \right)\) là: \({x^2} + {y^2} = 4\). Suy ra phương trình nửa đường tròn (phần nằm phía trên trục hoành) là \(y = \sqrt {4 – {x^2}} \).
Gọi \(M\), \(N\) là giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( P \right)\) (khác \(A\),\(B\)).
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( P \right)\) ta có:
\(\sqrt {4 – {x^2}} = – {x^2} + 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – {x^2} + 4 \ge 0\\\sqrt {4 – {x^2}} = {\left( {\sqrt {4 – {x^2}} } \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – {x^2} + 4 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}\sqrt {4 – {x^2}} = 0\\\sqrt {4 – {x^2}} = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – {x^2} + 4 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\{x^2} = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 2\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\).
Suy ra điểm \(M\left( { – \sqrt 3 ;1} \right)\) và điểm \(N\left( {\sqrt 3 ;1} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(ON\) là: \(y = \frac{1}{{\sqrt 3 }}x\).
Chi phí sơn phần kẻ sọc là: \({T_1} = \left[ {2\int\limits_0^{\sqrt 3 } {\left( { – {x^2} + 4 – \sqrt {4 – {x^2}} } \right){\rm{d}}x} } \right].140000\) (đồng).
Chi phí sơn phần hình quạt là: \({T_2} = \left[ {2\int\limits_0^{\sqrt 3 } {\left( {\sqrt {4 – {x^2}} – \frac{1}{{\sqrt 3 }}x} \right){\rm{d}}x} } \right].150000\) (đồng).
Chi phí sơn phần còn lại là: \({T_3} = \left[ {2\int\limits_0^{\sqrt 3 } {\frac{1}{{\sqrt 3 }}x{\rm{d}}x + 2\int\limits_{\sqrt 3 }^2 {\left( { – {x^2} + 4} \right){\rm{d}}x} } } \right].160000\) (đồng).
Vậy tổng chi phí sơn là: \(T = {T_1} + {T_2} + {T_3} \approx 1575349,5\) (đồng).
Để lại một bình luận