[Trắc nghiệm VD-VDC Toán 2020] Câu 41:Cho \(a,b > 0\) thỏa mản \({\log _{\sqrt {10} }}a = {\log _{\sqrt {15} }}b = {\log _5}\left( {a + b} \right).\)Giá trị của \(\frac{b}{a}\) bằng

[Trắc nghiệm VD-VDC Toán 2020] Câu 41:Cho \(a,b > 0\) thỏa mản \({\log _{\sqrt {10} }}a = {\log _{\sqrt {15} }}b = {\log _5}\left( {a + b} \right).\)Giá trị của \(\frac{b}{a}\) bằng

\(\frac{b}{a} = \frac{1}{2}\).
B. \(\frac{b}{a} = \frac{1}{3}\).
C. \(\frac{b}{a} = \frac{3}{2}\).
D. \(\frac{b}{a} = \frac{2}{3}\)
Lời giải
Đặt \(t = {\log _{\sqrt {10} }}a = {\log _{\sqrt {15} }}b = {\log _5}\left( {a + b} \right).\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {\sqrt {10} ^t}\\b = {\sqrt {15} ^t}\\a + b = {5^t}\end{array} \right. \Leftrightarrow {\sqrt {10} ^t} + {\sqrt {15} ^t} = {5^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\sqrt {10} }}{5}} \right)^t} + {\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{5}} \right)^t} = 1\) (*)
Đặt \(f\left( t \right) = {\left( {\frac{{\sqrt {10} }}{5}} \right)^t} + {\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{t}} \right)^t}\). Ta có \(f’\left( t \right) = {\left( {\frac{{\sqrt {10} }}{5}} \right)^t}.\ln \left( {\frac{{\sqrt {10} }}{5}} \right) + {\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{5}} \right)^t}.\ln \left( {\frac{{\sqrt {15} }}{5}} \right) < 0\) Vậy \(f\left( t \right)\) nghịch biến với mọi \(t\) Mặt khác ta có \(f\left( 2 \right) = 1\) Do đó (*) có nghiệm duy nhất \(t = 2.\) Vậy \(\frac{b}{a} = {\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{{\sqrt {10} }}} \right)^t} = {\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{{\sqrt {10} }}} \right)^2} = \frac{{15}}{{10}} = \frac{3}{2}\).