[Trắc nghiệm VD-VDC Toán 2020] Câu 41: Cho \(a,b > 0\) thỏa mản \({\log _4}a = {\log _6}b = {\log _9}\left( {a + b} \right).\)Giá trị của \(\frac{a}{b}\) bằng

Tương tự Câu 41: Cho \(a,b > 0\) thỏa mản \({\log _4}a = {\log _6}b = {\log _9}\left( {a + b} \right).\)Giá trị của \(\frac{a}{b}\) bằng

A. \(\frac{1}{2}\).
B. \(\frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}\).
C. \(\frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2}\).
D. \(\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)

Lời giải

Đặt \(t = {\log _4}a = {\log _6}b = {\log _9}\left( {a + b} \right).\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {4^t}\\b = {6^t}\\a + b = {9^t}\end{array} \right. \Leftrightarrow {4^t} + {6^t} = {9^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2t}} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} = 1\) (*)
Đặt \(X = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} > 0\). Từ (*) Ta được \({X^2} + X – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = \frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}\,\,(n)\\X = \frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2}\,\,(l)\end{array} \right.\)
Vậy \(\frac{a}{b} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} = X = \frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}\).