[Trắc nghiệm VD-VDC Toán 2020] Câu 41:Cho \(a,b > 0\) thỏa mản \({\log _{16}}a = {\log _{20}}b = {\log _{25}}\frac{{2a – b}}{3}.\)Giá trị của \(\frac{a}{b}\) bằng

[Trắc nghiệm VD-VDC Toán 2020] Câu 41:Cho \(a,b > 0\) thỏa mản \({\log _{16}}a = {\log _{20}}b = {\log _{25}}\frac{{2a – b}}{3}.\)Giá trị của \(\frac{a}{b}\) bằng

\(\frac{5}{4}\).
B. \(\frac{3}{2}\).
C. \(\frac{2}{3}\).
D. \(\frac{4}{5}\)
Lời giải
Đặt \(t = {\log _{16}}a = {\log _{20}}b = {\log _{25}}\frac{{2a – b}}{3}.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {16^t}\\b = {20^t}\\\frac{{2a – b}}{3} = {25^t}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {16^t}\\b = {20^t}\\2a – b = {3.25^t}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow {2.16^t} – {20^t} = {3.25^t} \Leftrightarrow 2.{\left( {\frac{4}{5}} \right)^{2t}} – {\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} = 3\) (*)
Đặt \(X = {\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} > 0\). Từ (*) Ta được \(2{X^2} – X – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = – 1\,\,\,(l)\\X = \frac{3}{2}\,\,\,\,\,\,(n)\end{array} \right.\)
Vậy \(\frac{a}{b} = {\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} = X = \frac{3}{2}\).