Tính xác suất bằng công thức Bayes qua bài toán chọn hộp và gieo xúc xắc

1. Lý thuyết và Công thức Bayes

1.1. Hệ đầy đủ các biến cố

Hệ các biến cố $A_1, A_2, \dots, A_n$ được gọi là một hệ đầy đủ nếu thỏa mãn hai điều kiện:

• Các biến cố xung khắc từng đôi một: $A_i \cap A_j = \emptyset$ với mọi $i \neq j$.
• Tổng của chúng là không gian mẫu: $\cup_{i=1}^n A_i = \Omega$.

1.2. Công thức xác suất toàn phần

Cho $A_1, A_2, \dots, A_n$ là một hệ đầy đủ các biến cố và $B$ là một biến cố bất kỳ. Xác suất của biến cố $B$ được tính theo công thức:

$$P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)$$

1.3. Công thức Bayes

Giả sử ta đã biết biến cố $B$ xảy ra ($P(B) > 0$). Xác suất để biến cố $A_i$ xảy ra trong điều kiện $B$ đã xảy ra được tính bởi công thức Bayes:

$$P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)}$$

Công thức Bayes có ý nghĩa quan trọng trong việc “đánh giá lại” xác suất của các nguyên nhân $A_i$ khi đã quan sát thấy kết quả $B$ xảy ra.

2. 5 Ví dụ minh họa có lời giải chi tiết

Ví dụ 1

Đề bài: Có 2 hộp bi. Hộp 1 có 3 bi đỏ và 4 bi xanh. Hộp 2 có 2 bi đỏ và 5 bi xanh. Một người nhắm mắt chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó rút ngẫu nhiên ra 1 viên bi. Giả sử viên bi rút ra là bi đỏ, tính xác suất để viên bi đó thuộc hộp 1.

Lời giải:

Gọi $A_1, A_2$ lần lượt là biến cố chọn được hộp 1 và hộp 2. Ta có $P(A_1) = P(A_2) = \frac{1}{2}$. Hệ $A_1, A_2$ là hệ đầy đủ.

Gọi $B$ là biến cố “rút được bi đỏ”. Theo đề bài: $P(B|A_1) = \frac{3}{7}$ và $P(B|A_2) = \frac{2}{7}$.

Theo công thức xác suất toàn phần: $P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{7} = \frac{5}{14}$.

Xác suất viên bi đỏ thuộc hộp 1 là: $P(A_1|B) = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7}}{\frac{5}{14}} = \frac{3}{5}$.

Ví dụ 2

Đề bài: Tỷ lệ mắc bệnh X trong cộng đồng là 1%. Một xét nghiệm phát hiện bệnh có tỷ lệ dương tính đúng (nếu có bệnh thì xét nghiệm dương tính) là 95% và tỷ lệ dương tính giả (không bệnh nhưng xét nghiệm vẫn dương tính) là 2%. Một người làm xét nghiệm có kết quả dương tính. Tính xác suất người này thực sự mắc bệnh.

Lời giải:

Gọi $A$ là biến cố “người đó mắc bệnh”, $\overline{A}$ là “không mắc bệnh”. Ta có $P(A) = 0.01$, $P(\overline{A}) = 0.99$.

Gọi $B$ là biến cố “xét nghiệm dương tính”. Ta có $P(B|A) = 0.95$ và $P(B|\overline{A}) = 0.02$.

Xác suất toàn phần: $P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}) = 0.01 \cdot 0.95 + 0.99 \cdot 0.02 = 0.0095 + 0.0198 = 0.0293$.

Xác suất thực sự mắc bệnh: $P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)} = \frac{0.0095}{0.0293} \approx 0.3242$ (khoảng 32.42%).

Ví dụ 3

Đề bài: Một công ty có 3 phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm. Phân xưởng 1, 2, 3 lần lượt sản xuất 20%, 30% và 50% tổng số sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm của các phân xưởng lần lượt là 1%, 2% và 3%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của công ty thì thấy đó là phế phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó do phân xưởng 2 sản xuất.

Lời giải:

Gọi $A_1, A_2, A_3$ là biến cố sản phẩm do phân xưởng 1, 2, 3 sản xuất. Ta có $P(A_1) = 0.2$, $P(A_2) = 0.3$, $P(A_3) = 0.5$.

Gọi $B$ là biến cố “sản phẩm là phế phẩm”. Ta có $P(B|A_1) = 0.01$, $P(B|A_2) = 0.02$, $P(B|A_3) = 0.03$.

Xác suất toàn phần: $P(B) = 0.2 \cdot 0.01 + 0.3 \cdot 0.02 + 0.5 \cdot 0.03 = 0.002 + 0.006 + 0.015 = 0.023$.

Xác suất để đó là sản phẩm của phân xưởng 2: $P(A_2|B) = \frac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(B)} = \frac{0.006}{0.023} = \frac{6}{23}$.

Ví dụ 4

Đề bài: Trong một kỳ thi trắc nghiệm, một sinh viên có xác suất thuộc bài là 60%. Nếu thuộc bài, sinh viên sẽ chọn đúng đáp án 100%. Nếu không thuộc bài, sinh viên sẽ đánh lụi (mỗi câu có 4 phương án, chỉ 1 phương án đúng). Giả sử sinh viên làm đúng một câu. Tính xác suất sinh viên đó thực sự đã thuộc bài.

Lời giải:

Gọi $A$ là biến cố “sinh viên thuộc bài”, $\overline{A}$ là “không thuộc bài”. $P(A) = 0.6$, $P(\overline{A}) = 0.4$.

Gọi $B$ là biến cố “làm đúng câu hỏi”. $P(B|A) = 1$, $P(B|\overline{A}) = \frac{1}{4} = 0.25$.

$P(B) = 0.6 \cdot 1 + 0.4 \cdot 0.25 = 0.6 + 0.1 = 0.7$.

Xác suất thuộc bài: $P(A|B) = \frac{0.6 \cdot 1}{0.7} = \frac{6}{7}$.

Ví dụ 5

Đề bài: Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn 1 viên đạn. Xác suất bắn trúng của xạ thủ 1 là 0.7; của xạ thủ 2 là 0.8. Sau khi bắn, người ta thấy có đúng 1 viên đạn trúng mục tiêu. Tính xác suất viên đạn đó là do xạ thủ 1 bắn.

Lời giải:

Gọi $X_1, X_2$ là biến cố “xạ thủ 1 trúng”, “xạ thủ 2 trúng”.

Gọi $B$ là biến cố “có đúng 1 viên trúng mục tiêu”. $B$ xảy ra khi xạ thủ 1 trúng và xạ thủ 2 trượt, hoặc xạ thủ 1 trượt và xạ thủ 2 trúng.

$P(B) = P(X_1)P(\overline{X_2}) + P(\overline{X_1})P(X_2) = 0.7 \cdot 0.2 + 0.3 \cdot 0.8 = 0.14 + 0.24 = 0.38$.

Xác suất để viên trúng là của xạ thủ 1 chính là xác suất (xạ thủ 1 trúng và 2 trượt) trong điều kiện $B$: $P(X_1 \cap \overline{X_2} | B) = \frac{0.14}{0.38} = \frac{7}{19}$.

3. Bài toán mới

1. Đề bài

Có 3 hộp đựng thẻ. Hộp 1 chứa 5 thẻ đỏ và 3 thẻ vàng. Hộp 2 chứa 4 thẻ đỏ và 6 thẻ vàng. Hộp 3 chứa 2 thẻ đỏ và 8 thẻ vàng. Người ta gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Nếu xuất hiện mặt 1 chấm thì chọn hộp 1; nếu xuất hiện mặt 2 hoặc 3 chấm thì chọn hộp 2; nếu xuất hiện các mặt còn lại thì chọn hộp 3. Từ hộp được chọn, lấy ngẫu nhiên 1 thẻ. Biết rằng thẻ lấy ra là thẻ đỏ. Tính xác suất để thẻ đỏ đó được lấy từ hộp 2.

2. Dạng toán

Tính xác suất có điều kiện bằng cách áp dụng công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, kết hợp với một phép thử phụ (gieo xúc xắc) để xác định xác suất tiên nghiệm (prior probabilities).

3. Phương pháp giải

• Bước 1: Xác định hệ biến cố đầy đủ. Gọi $A_i$ là biến cố “Chọn hộp $i$” với $i \in \{1, 2, 3\}$. Tính các xác suất $P(A_i)$ dựa vào phép thử gieo xúc xắc.
• Bước 2: Gọi $B$ là biến cố “Lấy được thẻ đỏ”. Tính các xác suất có điều kiện $P(B|A_i)$ từ cấu trúc thẻ của từng hộp.
• Bước 3: Áp dụng công thức xác suất toàn phần để tính $P(B)$.
• Bước 4: Áp dụng công thức Bayes để tính $P(A_2|B)$ theo yêu cầu bài toán.

4. Lời giải chi tiết

Gọi $A_1, A_2, A_3$ lần lượt là biến cố chọn được hộp 1, hộp 2 và hộp 3. Các biến cố này tạo thành một hệ đầy đủ.
Dựa vào phép gieo xúc xắc, ta có:

• $P(A_1) = \frac{1}{6}$ (chỉ có mặt 1 chấm).
• $P(A_2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ (mặt 2 hoặc 3 chấm).
• $P(A_3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (mặt 4, 5, 6 chấm).

Gọi $B$ là biến cố “Lấy được thẻ đỏ”. Xác suất lấy thẻ đỏ ở mỗi hộp là:

• Hộp 1 có 8 thẻ (5 đỏ, 3 vàng) $\Rightarrow P(B|A_1) = \frac{5}{8}$.
• Hộp 2 có 10 thẻ (4 đỏ, 6 vàng) $\Rightarrow P(B|A_2) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
• Hộp 3 có 10 thẻ (2 đỏ, 8 vàng) $\Rightarrow P(B|A_3) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất để lấy được thẻ đỏ là:
$$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3)$$
$$P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{8} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}$$
$$P(B) = \frac{5}{48} + \frac{2}{15} + \frac{1}{10}$$
Quy đồng mẫu số (mẫu chung là 240):
$$P(B) = \frac{25}{240} + \frac{32}{240} + \frac{24}{240} = \frac{81}{240} = \frac{27}{80}$$

Theo công thức Bayes, xác suất để thẻ đỏ lấy từ hộp 2 là:
$$P(A_2|B) = \frac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(B)}$$
$$P(A_2|B) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}}{\frac{27}{80}} = \frac{\frac{2}{15}}{\frac{27}{80}} = \frac{2}{15} \cdot \frac{80}{27} = \frac{160}{405} = \frac{32}{81}$$

Kết luận: Xác suất để thẻ đỏ đó được lấy từ hộp 2 là $\frac{32}{81}$.

5. Bài tập tự luyện

Câu 1: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền I sản xuất 60% sản phẩm, dây chuyền II sản xuất 40% sản phẩm. Tỉ lệ phế phẩm của dây chuyền I là 2%, của dây chuyền II là 3%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho và phát hiện đó là phế phẩm. Tính xác suất sản phẩm này do dây chuyền I sản xuất.

Câu 2: Có hai hộp bi. Hộp I chứa 4 bi trắng, 6 bi đen. Hộp II chứa 5 bi trắng, 5 bi đen. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ra một viên bi. Biết rằng viên bi lấy ra có màu trắng, tính xác suất để viên bi đó thuộc hộp II.

Câu 3: Trong một kỳ thi trắc nghiệm, học sinh có khả năng biết làm bài với xác suất 70% và đánh lụi với xác suất 30%. Nếu biết làm, học sinh chắc chắn chọn đúng (xác suất 100%). Nếu đánh lụi, xác suất chọn đúng là 25% (mỗi câu có 4 đáp án). Chọn ngẫu nhiên một câu và học sinh làm đúng. Tính xác suất học sinh đó thực sự biết làm câu này.

Câu 4: Kênh truyền tin phát đi hai loại tín hiệu 0 và 1 với xác suất tương ứng là 0.6 và 0.4. Do nhiễu đường truyền, tín hiệu 0 bị nhận sai thành 1 với xác suất 0.1; tín hiệu 1 bị nhận sai thành 0 với xác suất 0.2. Giả sử đài thu nhận được tín hiệu 1. Tính xác suất tín hiệu thực sự được phát đi là tín hiệu 1.

Câu 5: Có 3 cửa hàng bán cùng một loại tivi với thị phần tương ứng là 20%, 30% và 50%. Tỉ lệ tivi bị lỗi kĩ thuật ở các cửa hàng lần lượt là 1%, 2% và 3%. Một khách hàng mua tivi bị lỗi, tính xác suất người đó đã mua ở cửa hàng thứ 3.