Bài toán gốc
Tính tích phân $\int \limits_{\pi}^{\frac{5 \pi}{3}} \frac{5}{\cos^2 x}\mathrm{d}x$.
A. $- \sqrt{3}$.
B. $\frac{15}{2}$.
C. $- \frac{5 \sqrt{3}}{2}$. *
D. $- 5 \sqrt{3}$.
Lời giải:
$\int \limits_{\pi}^{\frac{5 \pi}{3}} \frac{5}{\cos^2 x}\mathrm{d}x=5 \tan x\bigg|_{\pi}^{\frac{5 \pi}{3}}=- 5 \sqrt{3}$.
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng bài toán tính tích phân xác định cơ bản của hàm lượng giác. Phương pháp giải là nhận dạng nguyên hàm cơ bản: $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$. Sau đó, áp dụng Định lý cơ bản của Giải tích (Công thức Newton-Leibniz) để tính giá trị tích phân: $F(b) – F(a)$. Việc tính toán yêu cầu nhớ các giá trị lượng giác cơ bản tại các góc đặc biệt.
Bài toán tương tự
1. Tính tích phân $\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{3}{\cos^2 x} dx$.
A. 1.
B. 3.
C. $3\sqrt{2}$.
D. 0.
Đáp án đúng: B. 3.
Lời giải ngắn gọn: $\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{3}{\cos^2 x} dx = 3 \tan x \bigg|_0^{\frac{\pi}{4}} = 3 \tan(\frac{\pi}{4}) – 3 \tan(0) = 3(1) – 0 = 3$.
2. Tính tích phân $\int \limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{2}{\sin^2 x} dx$.
A. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
B. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
C. $2\sqrt{3}$.
D. $4\sqrt{3}$.
Đáp án đúng: B. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
Lời giải ngắn gọn: $\int \limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{2}{\sin^2 x} dx = -2 \cot x \bigg|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = -2 \cot(\frac{\pi}{3}) – (-2 \cot(\frac{\pi}{6})) = -2(\frac{\sqrt{3}}{3}) + 2(\sqrt{3}) = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.
3. Tính tích phân $\int \limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} 4 \cos x dx$.
A. 4.
B. $-4$.
C. 0.
D. $-2$.
Đáp án đúng: B. $-4$.
Lời giải ngắn gọn: $\int \limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} 4 \cos x dx = 4 \sin x \bigg|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = 4 \sin(\pi) – 4 \sin(\frac{\pi}{2}) = 4(0) – 4(1) = -4$.
4. Tính tích phân $\int \limits_{0}^{\ln 2} 6 e^x dx$.
A. $6 \ln 2$.
B. 6.
C. 12.
D. 3.
Đáp án đúng: B. 6.
Lời giải ngắn gọn: $\int \limits_{0}^{\ln 2} 6 e^x dx = 6 e^x \bigg|_{0}^{\ln 2} = 6 e^{\ln 2} – 6 e^0 = 6(2) – 6(1) = 6$.
5. Tính tích phân $\int \limits_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$.
A. 4.
B. 2.
C. 1.
D. 0.
Đáp án đúng: B. 2.
Lời giải ngắn gọn: $\int \limits_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int \limits_{1}^{4} x^{-\frac{1}{2}} dx = 2\sqrt{x} \bigg|_{1}^{4} = 2\sqrt{4} – 2\sqrt{1} = 4 – 2 = 2.$