Bài toán gốc
Tính tích phân $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\left(-2\mathrm{e}^x+ 3\cos x\right)\mathrm{d}x$ bằng
A. $- 2 e^{\frac{\pi}{2}} – 6 + \frac{2}{e^{\frac{\pi}{2}}}$.
B. $- \frac{2}{e^{\frac{\pi}{2}}} + 6 + 2 e^{\frac{\pi}{2}}$. *
C. $- 2 e^{\frac{\pi}{2}} + \frac{2}{e^{\frac{\pi}{2}}} + 6$.
D. $-6 – \frac{2}{e^{\frac{\pi}{2}}} + 2 e^{\frac{\pi}{2}}$.
Lời giải:
Ta có $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\left(-2\mathrm{e}^x + 3\cos x\right)\mathrm{d}x = \left(- 2 e^{x} + 3 \sin x\right)\Big|_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} = – 2 e^{\frac{\pi}{2}} + \frac{2}{e^{\frac{\pi}{2}}} + 6.$
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán là tính tích phân xác định của một hàm số được biểu diễn dưới dạng tổng/hiệu của các hàm cơ bản (hàm mũ $e^x$ và hàm lượng giác $\cos x$). Phương pháp giải là áp dụng tính chất tuyến tính của tích phân, tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm dưới dấu tích phân, sau đó sử dụng Công thức Newton-Leibniz: $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = F(b) – F(a)$. Chú ý đến giá trị của hàm lượng giác tại các cận đặc biệt và tính chất $e^{-x} = 1/e^x$. Bài toán gốc có cận đối xứng, nhưng do hàm $e^x$ không chẵn/lẻ nên không thể áp dụng tính chất hàm chẵn/lẻ để đơn giản hóa hoàn toàn phép tính.
Bài toán tương tự
**Câu 1:** Tính tích phân $\displaystyle I = \int_{0}^{\pi} (4\mathrm{e}^x – 2\sin x) \mathrm{d}x$.
A. $4\mathrm{e}^\pi – 6$
B. $4\mathrm{e}^\pi – 8$
C. $4\mathrm{e}^\pi$
D. $4\mathrm{e}^\pi + 2$
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: $\displaystyle I = (4\mathrm{e}^x + 2\cos x)\Big|_{0}^{\pi} = (4\mathrm{e}^\pi + 2\cos \pi) – (4\mathrm{e}^0 + 2\cos 0) = (4\mathrm{e}^\pi – 2) – (4 + 2) = 4\mathrm{e}^\pi – 8$.
**Câu 2:** Tính tích phân $\displaystyle I = \int_{0}^{1} (3\mathrm{e}^x + 4x^3) \mathrm{d}x$.
A. $3\mathrm{e} – 1$
B. $3\mathrm{e} – 2$
C. $3\mathrm{e} + 1$
D. $3\mathrm{e}$
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: $\displaystyle I = (3\mathrm{e}^x + x^4)\Big|_{0}^{1} = (3\mathrm{e}^1 + 1^4) – (3\mathrm{e}^0 + 0^4) = 3\mathrm{e} + 1 – 3 = 3\mathrm{e} – 2$.
**Câu 3:** Tính tích phân $\displaystyle I = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} (3\sin x + 2\mathrm{e}^x) \mathrm{d}x$.
A. $4\mathrm{e}^{\frac{\pi}{6}}$
B. $2\left(\mathrm{e}^{\frac{\pi}{6}} – \mathrm{e}^{-\frac{\pi}{6}}\right)$
C. $\mathrm{e}^{\frac{\pi}{6}} + \mathrm{e}^{-\frac{\pi}{6}}$
D. $2\mathrm{e}^{\frac{\pi}{6}} + 2\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{6}}$
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: $\displaystyle I = (-3\cos x + 2\mathrm{e}^x)\Big|_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} = (-3\cos \frac{\pi}{6} + 2\mathrm{e}^{\frac{\pi}{6}}) – (-3\cos (-\frac{\pi}{6}) + 2\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{6}})$. Do $\cos(\frac{\pi}{6}) = \cos(-\frac{\pi}{6})$, các thành phần lượng giác triệt tiêu. $I = 2\mathrm{e}^{\frac{\pi}{6}} – 2\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{6}} = 2\left(\mathrm{e}^{\frac{\pi}{6}} – \mathrm{e}^{-\frac{\pi}{6}}\right)$.
**Câu 4:** Tính tích phân $\displaystyle I = \int_{-\pi}^{\pi} (5\cos x – 3x^2) \mathrm{d}x$.
A. $0$
B. $-2\pi^3$
C. $2\pi^3$
D. $5\pi – \pi^3$
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: $\displaystyle I = (5\sin x – x^3)\Big|_{-\pi}^{\pi} = (5\sin \pi – \pi^3) – (5\sin (-\pi) – (-\pi)^3) = (0 – \pi^3) – (0 + \pi^3) = -2\pi^3$.
**Câu 5:** Tính tích phân $\displaystyle I = \int_{1}^{2} \left(2\mathrm{e}^x – \frac{1}{x+1}\right) \mathrm{d}x$.
A. $2(\mathrm{e}^2 – \mathrm{e}) + \ln 2$
B. $2(\mathrm{e}^2 – \mathrm{e}) – \ln 6$
C. $2(\mathrm{e}^2 – \mathrm{e}) + \ln(\frac{2}{3})$
D. $2\mathrm{e}^2 – 2\mathrm{e} – \ln(\frac{3}{2})$
Đáp án đúng: C.
Lời giải ngắn gọn: $\displaystyle I = (2\mathrm{e}^x – \ln|x+1|)\Big|_{1}^{2} = (2\mathrm{e}^2 – \ln 3) – (2\mathrm{e}^1 – \ln 2) = 2(\mathrm{e}^2 – \mathrm{e}) + \ln 2 – \ln 3 = 2(\mathrm{e}^2 – \mathrm{e}) + \ln(\frac{2}{3})$. (Lưu ý đáp án C và D là tương đương).