Trong chương trình Toán 10, chủ đề Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn giữ vai trò vô cùng quan trọng vì liên quan trực tiếp đến các bài toán quy hoạch tuyến tính và bài toán tối ưu hóa trong đời sống thực tế. Việc xác định miền nghiệm đa giác và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức $F(x; y) = ax + by$ là kỹ năng trọng tâm thường xuất hiện trong các đề kiểm tra cũng như đề thi chuẩn hóa.
📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Tìm giá trị lớn nhất $F_{\max}$ của biểu thức $F(x; y) = 3x + 2y$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x + 2y \le 8 \\ 2x + y \le 7 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức bậc nhất $F(x; y) = ax + by$ trên một miền đa giác lồi $S$ xác định bởi hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta thực hiện theo các bước sau:
- Xác định miền nghiệm: Vẽ các đường thẳng bờ và xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình. Miền nghiệm ở đây là một miền đa giác (kể cả biên).
- Tìm tọa độ các đỉnh: Giải hệ phương trình tương ứng giữa các đường thẳng cắt nhau để tìm tọa độ các đỉnh của miền đa giác.
- Tính giá trị của $F(x; y)$ tại các đỉnh: Theo định lý quy hoạch tuyến tính, biểu thức $F(x; y) = ax + by$ đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của miền đa giác đó.
- So sánh và kết luận: Giá trị lớn nhất trong các giá trị vừa tính chính là $F_{\max}$, giá trị nhỏ nhất là $F_{\min}$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình
Hệ bất phương trình đã cho là:
$$\begin{cases} x + 2y \le 8 \quad (d_1: x + 2y = 8) \\ 2x + y \le 7 \quad (d_2: 2x + y = 7) \\ x \ge 0 \quad (\text{trục } Oy: x = 0) \\ y \ge 0 \quad (\text{trục } Ox: y = 0) \end{cases}$$
Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác $OABC$ (bao gồm cả các cạnh), trong đó:
- Gốc tọa độ $O(0; 0)$ là giao điểm của hai trục tọa độ $x = 0$ và $y = 0$.
- Điểm $A$ là giao điểm của đường thẳng $d_1$ với trục tung $Oy$ ($x = 0$): Thay $x = 0$ vào $x + 2y = 8 \Rightarrow y = 4 \Rightarrow A(0; 4)$.
- Điểm $B$ là giao điểm của hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 2x + y = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 8 – 2y \\ 2(8 – 2y) + y = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases} \Rightarrow B(2; 3)$.
- Điểm $C$ là giao điểm của đường thẳng $d_2$ với trục hoành $Ox$ ($y = 0$): Thay $y = 0$ vào $2x + y = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2} = 3{,}5 \Rightarrow C(3{,}5; 0)$.
Bước 2: Tính giá trị của biểu thức $F(x; y) = 3x + 2y$ tại các đỉnh
- Tại $O(0; 0)$: $F(0; 0) = 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0$.
- Tại $A(0; 4)$: $F(0; 4) = 3 \cdot 0 + 2 \cdot 4 = 8$.
- Tại $B(2; 3)$: $F(2; 3) = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 6 + 6 = 12$.
- Tại $C(3{,}5; 0)$: $F(3{,}5; 0) = 3 \cdot 3{,}5 + 2 \cdot 0 = 10{,}5$.
So sánh các giá trị trên, ta có $F(0; 0) < F(0; 4) < F(3{,}5; 0) < F(2; 3)$. Do đó, giá trị lớn nhất của $F(x; y)$ là $12$ khi $(x; y) = (2; 3)$.
Tương tự như các mô hình tính toán hình học nhiều bước như bài toán thiết kế biểu trưng hình học hay bài toán tô màu tấm bìa hình vuông, việc nắm vững cấu trúc các đỉnh biên của miền nghiệm giúp học sinh giải quyết trọn vẹn dạng toán này một cách chính xác.
👉 Chọn đáp án: A
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Bài tập 1: Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} 2x + 3y – 6 \le 0 \\ x – y + 1 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases}$?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình:
- Với $M(1; 2)$: $2(1) + 3(2) – 6 = 2 > 0$ (loại).
- Với $N(1; 1)$: $\begin{cases} 2(1) + 3(1) – 6 = -1 \le 0 \\ 1 – 1 + 1 = 1 \ge 0 \\ 1 \ge 0 \end{cases}$ (thỏa mãn cả 3 bất phương trình).
- Với $P(3; 1)$: $2(3) + 3(1) – 6 = 3 > 0$ (loại).
- Với $Q(2; 2)$: $2(2) + 3(2) – 6 = 4 > 0$ (loại).
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 2: Giá trị nhỏ nhất $F_{\min}$ của biểu thức $F(x; y) = 4x – 3y$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y \le 5 \\ x \ge 0 \\ 0 \le y \le 3 \end{cases}$ bằng bao nhiêu?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Miền nghiệm của hệ là hình ngũ giác (hoặc tứ giác) bị chặn bởi các đường $x=0, y=0, y=3, x+y=5$. Cụ thể, các đỉnh gồm:
- $O(0; 0)$
- $A(0; 3)$
- Giao của $y = 3$ và $x + y = 5$: $B(2; 3)$
- Giao của $y = 0$ và $x + y = 5$: $C(5; 0)$
Tính giá trị $F(x; y) = 4x – 3y$ tại các đỉnh:
- $F(0; 0) = 0$
- $F(0; 3) = 4(0) – 3(3) = -9$
- $F(2; 3) = 4(2) – 3(3) = 8 – 9 = -1$
- $F(5; 0) = 4(5) – 3(0) = 20$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $F(x; y)$ là $-9$ tại đỉnh $A(0; 3)$.
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 3: Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x – y \le 2 \\ 2x + y \le 4 \\ x \ge 0 \end{cases}$. Miền nghiệm của hệ là một miền hình học có diện tích $S$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Miền nghiệm bị chặn bởi ba đường thẳng: $d_1: x – y = 2$, $d_2: 2x + y = 4$ và trục tung $Oy: x = 0$.
Giao điểm của các cặp đường thẳng:
- Giao của $Oy$ ($x = 0$) và $d_1$: $A(0; -2)$.
- Giao của $Oy$ ($x = 0$) và $d_2$: $B(0; 4)$.
- Giao của $d_1$ và $d_2$: cộng hai phương trình được $3x = 6 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow C(2; 0)$.
Ba điểm $A(0; -2), B(0; 4), C(2; 0)$ tạo thành một tam giác $ABC$. Đáy $AB$ nằm trên trục tung có độ dài: $AB = |4 – (-2)| = 6$. Chiều cao tương ứng hạ từ đỉnh $C(2; 0)$ xuống trục tung chính là khoảng cách từ $C$ đến $Oy$, bằng $h = |x_C| = 2$.
Diện tích tam giác là: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$.
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 4: Một xưởng cơ khí sản xuất hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất 1 tấn sản phẩm I cần dùng 2 tấn nguyên liệu và 3 giờ làm việc của máy. Để sản xuất 1 tấn sản phẩm II cần 4 tấn nguyên liệu và 1 giờ máy. Biết xưởng có tối đa 12 tấn nguyên liệu và 8 giờ làm việc của máy. Gọi $x, y$ lần lượt là số tấn sản phẩm I và II xưởng sản xuất. Hệ bất phương trình mô tả các điều kiện của bài toán là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Số tấn sản phẩm loại I là $x$ ($x \ge 0$), số tấn sản phẩm loại II là $y$ ($y \ge 0$).
- Lượng nguyên liệu cần dùng là $2x + 4y$. Do xưởng có tối đa 12 tấn nguyên liệu nên: $2x + 4y \le 12$.
- Thời gian máy cần làm việc là $3x + 1y = 3x + y$. Do máy chỉ có tối đa 8 giờ làm việc nên: $3x + y \le 8$.
Tương tự như việc lập kế hoạch nguồn lực trong các bài toán thực tế như bài toán tăng trưởng và phân bổ giới hạn, ta thu được hệ điều kiện ràng buộc: $\begin{cases} 2x + 4y \le 12 \\ 3x + y \le 8 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$.
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 5: Giá trị lớn nhất của biểu thức $L = 5x + 4y$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x – y \le 1 \\ x + 2y \le 10 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Miền nghiệm là đa giác tứ giác $OABC$ với các đỉnh:
- $O(0; 0)$
- Giao của $x = 0$ và $x + 2y = 10 \Rightarrow A(0; 5)$
- Giao của $x – y = 1$ và $x + 2y = 10$: trừ vế cho vế ta có $3y = 9 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow B(4; 3)$
- Giao của $y = 0$ và $x – y = 1 \Rightarrow C(1; 0)$
Tính giá trị $L = 5x + 4y$ tại các đỉnh:
- $L(O) = 5(0) + 4(0) = 0$
- $L(A) = 5(0) + 4(5) = 20$
- $L(B) = 5(4) + 4(3) = 20 + 12 = 32$
- $L(C) = 5(1) + 4(0) = 5$
Giá trị lớn nhất đạt được là $L_{\max} = 32$ tại đỉnh $B(4; 3)$.
👉 Chọn đáp án: B
Để lại phản hồi