📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Một xưởng cơ khí sản xuất hai loại sản phẩm $A$ và $B$. Để sản xuất $1$ sản phẩm loại $A$ cần $2$ giờ gia công trên máy I và $1$ giờ gia công trên máy II. Để sản xuất $1$ sản phẩm loại $B$ cần $1$ giờ gia công trên máy I và $3$ giờ gia công trên máy II. Trong một ngày, máy I hoạt động tối đa $10$ giờ, máy II hoạt động tối đa $15$ giờ. Mỗi sản phẩm loại $A$ đem lại tiền lãi $400$ nghìn đồng, mỗi sản phẩm loại $B$ đem lại tiền lãi $500$ nghìn đồng. Hỏi trong một ngày, số tiền lãi lớn nhất mà xưởng có thể đạt được là bao nhiêu nghìn đồng?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Bài toán tối ưu hóa trong sản xuất thực tế được giải quyết bằng phương pháp hình học tuyến tính theo các bước:
- Gọi ẩn và đặt điều kiện: Gọi $x, y$ lần lượt là số lượng đơn vị sản phẩm cần sản xuất ($x, y \ge 0$).
- Lập hệ bất phương trình: Dựa vào các ràng buộc về năng lực máy móc, nguyên vật liệu hoặc chi phí.
- Xác định miền nghiệm: Miền nghiệm của hệ là một đa giác (hoặc miền đa diện lồi phẳng). Tương tự như bài toán tìm giá trị lớn nhất trên miền nghiệm, giá trị tối ưu luôn đạt được tại một trong các đỉnh của miền đa giác đó.
- Tính giá trị hàm mục tiêu: Tính giá trị $F(x; y)$ tại tất cả các đỉnh của đa giác nghiệm để rút ra kết luận giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1. Thiết lập hệ bất phương trình:
Gọi số sản phẩm loại $A$ và loại $B$ xưởng sản xuất trong một ngày lần lượt là $x$ và $y$ ($x, y \ge 0$).
– Tổng thời gian hoạt động của máy I là: $2x + y$ (giờ), máy I hoạt động tối đa $10$ giờ nên: $2x + y \le 10$.
– Tổng thời gian hoạt động của máy II là: $x + 3y$ (giờ), máy II hoạt động tối đa $15$ giờ nên: $x + 3y \le 15$.
Do đó, ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn biểu diễn số lượng sản phẩm:
$$\begin{cases} 2x + y \le 10 \\ x + 3y \le 15 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$Bước 2. Xác định các đỉnh của miền nghiệm:
Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác $OACB$ kể cả biên (như hình minh họa), trong đó:
- $O(0; 0)$ là gốc tọa độ.
- $A(0; 5)$ là giao điểm của đường thẳng $x + 3y = 15$ với trục $Oy$.
- $B(5; 0)$ là giao điểm của đường thẳng $2x + y = 10$ với trục $Ox$.
- $C(3; 4)$ là giao điểm của hai đường thẳng $2x + y = 10$ và $x + 3y = 15$.
Bước 3. Tính tiền lãi tại các đỉnh:
Hàm mục tiêu biểu diễn tổng tiền lãi (đơn vị: nghìn đồng) thu được là:
$$F(x; y) = 400x + 500y$$Tính giá trị $F(x; y)$ tại tọa độ các đỉnh của miền nghiệm:
- Tại $O(0; 0)$: $F(0; 0) = 400 \times 0 + 500 \times 0 = 0$ (nghìn đồng).
- Tại $A(0; 5)$: $F(0; 5) = 400 \times 0 + 500 \times 5 = 2500$ (nghìn đồng).
- Tại $B(5; 0)$: $F(5; 0) = 400 \times 5 + 500 \times 0 = 2000$ (nghìn đồng).
- Tại $C(3; 4)$: $F(3; 4) = 400 \times 3 + 500 \times 4 = 1200 + 2000 = 3200$ (nghìn đồng).
So sánh các giá trị trên, ta thấy $F(x; y)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $3200$ khi $x = 3$ và $y = 4$. Do đó, để đạt lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất $3$ sản phẩm loại $A$ và $4$ sản phẩm loại $B$.
👉 Đáp số (kết quả điền số): 3200
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)
Bài tập 1: Một cơ sở làm bánh sản xuất hai loại bánh dẻo và bánh nướng. Để làm một chiếc bánh dẻo cần $100\text{ g}$ đường và $200\text{ g}$ đậu xanh; để làm một chiếc bánh nướng cần $100\text{ g}$ đường và $100\text{ g}$ đậu xanh. Cơ sở hiện có dự trữ tối đa $12\text{ kg}$ đường và $16\text{ kg}$ đậu xanh. Tiền lãi mỗi chiếc bánh dẻo là $30$ nghìn đồng, mỗi chiếc bánh nướng là $20$ nghìn đồng. Hỏi cơ sở có thể thu được số tiền lãi tối đa bằng bao nhiêu nghìn đồng?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Gọi số bánh dẻo là $x$, số bánh nướng là $y$ ($x, y \ge 0$). Ta có hệ: $$\begin{cases} 100x + 100y \le 12000 \\ 200x + 100y \le 16000 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x + y \le 120 \\ 2x + y \le 160 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$$ Miền nghiệm có các đỉnh: $O(0; 0), A(0; 120), B(80; 0)$ và $C(40; 80)$ (giao điểm của $x+y=120$ và $2x+y=160$).
Hàm tiền lãi: $F(x; y) = 30x + 20y$ (nghìn đồng).
– $F(0; 120) = 2400$
– $F(80; 0) = 2400$
– $F(40; 80) = 30(40) + 20(80) = 1200 + 1600 = 2800$.
Giá trị lớn nhất là $2800$ nghìn đồng.
👉 Đáp số: 2800
Bài tập 2: Một công ty dự định thuê hai loại xe A và B để chở ít nhất $140$ người và $9$ tấn hàng. Mỗi xe loại A chở được $20$ người và $1$ tấn hàng, giá thuê là $4$ triệu đồng. Mỗi xe loại B chở được $20$ người và $1{,}5$ tấn hàng, giá thuê là $5$ triệu đồng. Biết nơi thuê chỉ có tối đa $8$ xe loại A và tối đa $8$ xe loại B. Hỏi chi phí thuê xe nhỏ nhất là bao nhiêu triệu đồng?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Các đỉnh của miền nghiệm bao gồm: $(8; 8), (8; 1), (3; 4), (0; 7), (0; 8)$ (với $x+y=7$ và $2x+3y=18 \implies x=3, y=4$).
Kiểm tra giá trị $T(x; y)$ tại các đỉnh biên khả dĩ:
– $T(0; 7) = 35$
– $T(3; 4) = 4(3) + 5(4) = 32$
– $T(8; 1) = 4(8) + 5(1) = 37$
Chi phí nhỏ nhất đạt được là $32$ triệu đồng (khi thuê $3$ xe loại A và $4$ xe loại B).
👉 Đáp số: 32
Bài tập 3: Một xưởng mộc đóng bàn và ghế. Mỗi chiếc bàn cần $4\text{ m}^2$ gỗ và $3$ giờ công lao động, đem lại tiền lãi $250$ nghìn đồng. Mỗi chiếc ghế cần $1\text{ m}^2$ gỗ và $2$ giờ công lao động, đem lại tiền lãi $100$ nghìn đồng. Kho hiện có sẵn $40\text{ m}^2$ gỗ và tổng quỹ thời gian công lao động là $45$ giờ. Hỏi xưởng mộc có thể đạt được số tiền lãi tối đa bằng bao nhiêu nghìn đồng?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Giao điểm của $4x + y = 40$ và $3x + 2y = 45$ là $x = 7, y = 12$.
Các đỉnh của miền nghiệm: $O(0; 0), A(0; 22{,}5), B(10; 0), C(7; 12)$.
Tính tiền lãi tại các đỉnh nguyên hợp lệ:
– $F(10; 0) = 2500$
– $F(0; 22) = 2200$
– $F(7; 12) = 250(7) + 100(12) = 1750 + 1200 = 2950$ (nghìn đồng).
Tiền lãi tối đa đạt được là $2950$ nghìn đồng.
👉 Đáp số: 2950
Để lại phản hồi