Một gia đình dự định trồng hai loại cây ăn quả là thanh long và xoài trên diện tích tối đa $7\text{ ha}$. Để trồng $1\text{ ha}$ thanh long cần $20\text{ triệu đồng}$ vốn đầu tư và $30$ ngày công lao động. Để trồng $1\text{ ha}$ xoài cần $30\text{ triệu đồng}$ vốn đầu tư và $15$ ngày công lao động. Gia đình hiện có tối đa $180\text{ triệu đồng}$ vốn đầu tư và huy động được tối đa $180$ ngày công. Biết rằng mỗi héc-ta thanh long đem lại lợi nhuận $40\text{ triệu đồng}$, mỗi héc-ta xoài đem lại lợi nhuận $50\text{ triệu đồng}$. Hỏi gia đình có thể thu được lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng?

📌 Đề bài (Trả lời ngắn):

Một gia đình dự định trồng hai loại cây ăn quả là thanh long và xoài trên diện tích tối đa $7\text{ ha}$. Để trồng $1\text{ ha}$ thanh long cần $20\text{ triệu đồng}$ vốn đầu tư và $30$ ngày công lao động. Để trồng $1\text{ ha}$ xoài cần $30\text{ triệu đồng}$ vốn đầu tư và $15$ ngày công lao động. Gia đình hiện có tối đa $180\text{ triệu đồng}$ vốn đầu tư và huy động được tối đa $180$ ngày công lao động. Biết rằng sau vụ thu hoạch, mỗi héc-ta thanh long đem lại tiền lãi $40\text{ triệu đồng}$, mỗi héc-ta xoài đem lại tiền lãi $50\text{ triệu đồng}$. Giả sử các điều kiện khác không đáng kể, hỏi số tiền lãi lớn nhất mà gia đình đó có thể thu về là bao nhiêu triệu đồng?

📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm

Để giải quyết các bài toán tối ưu hóa trong kinh tế và đời sống bằng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta thực hiện các bước sau:

1. Gọi ẩn và xác định điều kiện: Gọi $x, y$ lần lượt là số lượng đơn vị sản phẩm/diện tích cần tính ($x \ge 0, y \ge 0$).
2. Lập hệ bất phương trình: Dựa vào các giả thiết về giới hạn diện tích, vốn, nhân công, vật tư để thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
3. Xác định miền nghiệm: Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Miền nghiệm thường là một miền đa giác lồi.
4. Tìm giá trị tối ưu: Thiết lập hàm mục tiêu $F(x; y) = ax + by$. Theo định lý quy hoạch tuyến tính, giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của biểu thức $F(x; y)$ trên miền đa giác luôn đạt tại một trong các đỉnh của miền đa giác đó. Tương tự như bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức trên miền nghiệm, ta chỉ cần so sánh giá trị $F$ tại tất cả các đỉnh.