Một cơ sở sản xuất bánh dinh dưỡng làm hai loại bánh $A$ và $B$. Để sản xuất $1\text{ kg}$ bánh loại $A$ cần $0{,}4\text{ kg}$ bột mì và $0{,}2\text{ kg}$ đường. Để sản xuất $1\text{ kg}$ bánh loại $B$ cần $0{,}2\text{ kg}$ bột mì và $0{,}4\text{ kg}$ đường. Dự trữ nguyên liệu gồm $12\text{ kg}$ bột mì và $12\text{ kg}$ đường. Do năng lực đóng gói, tổng khối lượng bánh hai loại sản xuất không vượt quá $35\text{ kg}$. Mỗi ki-lô-gam bánh loại $A$ đem lại lợi nhuận $40$ nghìn đồng, mỗi ki-lô-gam bánh loại $B$ đem lại lợi nhuận $50$ nghìn đồng. Hỏi cơ sở có thể thu được lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu nghìn đồng?

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện

Gọi $x$ là khối lượng bánh loại $A$ cơ sở sản xuất ($x \ge 0$, đơn vị: $\text{kg}$).
Gọi $y$ là khối lượng bánh loại $B$ cơ sở sản xuất ($y \ge 0$, đơn vị: $\text{kg}$).

Bước 2: Lập hệ bất phương trình ràng buộc

• Lượng bột mì cần dùng là $0{,}4x + 0{,}2y\text{ (kg)}$. Do quỹ bột mì tối đa $12\text{ kg}$ nên: $$0{,}4x + 0{,}2y \le 12 \iff 2x + y \le 60$$
• Lượng đường cần dùng là $0{,}2x + 0{,}4y\text{ (kg)}$. Do quỹ đường tối đa $12\text{ kg}$ nên: $$0{,}2x + 0{,}4y \le 12 \iff x + 2y \le 60$$
• Năng lực đóng gói tối đa $35\text{ kg}$ nên: $$x + y \le 35$$

Từ đó, ta có hệ bất phương trình xác định miền phương án khả thi:

$$\begin{cases} 2x + y \le 60 \\ x + 2y \le 60 \\ x + y \le 35 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$

Bước 3: Xác định tọa độ các đỉnh của miền nghiệm

Tương tự mô hình trong bài toán sản xuất hai loại sản phẩm cơ khí, miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng $Oxy$ là ngũ giác $OAMNB$ (xem hình minh họa) với tọa độ các đỉnh:

• Gốc tọa độ $O(0; 0)$.
• Đỉnh $A(30; 0)$ là giao điểm của đường thẳng $2x + y = 60$ với trục hoành $y = 0$.
• Đỉnh $M(25; 10)$ là giao điểm của hai đường thẳng $2x + y = 60$ và $x + y = 35$.
• Đỉnh $N(10; 25)$ là giao điểm của hai đường thẳng $x + 2y = 60$ và $x + y = 35$.
• Đỉnh $B(0; 30)$ là giao điểm của đường thẳng $x + 2y = 60$ với trục tung $x = 0$.

Bước 4: Tính giá trị lợi nhuận tại các đỉnh

Hàm lợi nhuận thu được (tính bằng nghìn đồng) là: $$F(x; y) = 40x + 50y$$

Thay tọa độ các đỉnh vào hàm mục tiêu $F(x; y)$:

• Tại $O(0; 0)$: $F(0; 0) = 40(0) + 50(0) = 0$.
• Tại $A(30; 0)$: $F(30; 0) = 40(30) + 50(0) = 1200$.
• Tại $M(25; 10)$: $F(25; 10) = 40(25) + 50(10) = 1000 + 500 = 1500$.
• Tại $N(10; 25)$: $F(10; 25) = 40(10) + 50(25) = 400 + 1250 = 1650$.
• Tại $B(0; 30)$: $F(0; 30) = 40(0) + 50(30) = 1500$.

So sánh các giá trị trên, ta thấy $F(x; y)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $1650$ khi $x = 10$ và $y = 25$.

👉 Đáp số (kết quả điền số): 1650