📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Một trang trại chăn nuôi bò sữa cần bổ sung hai chất dinh dưỡng $X$ và $Y$ vào khẩu phần ăn hàng ngày cho đàn bò. Nhu cầu tối thiểu mỗi ngày là $40\text{ kg}$ chất $X$ và $50\text{ kg}$ chất $Y$. Trang trại đặt mua hai loại thức ăn hỗn hợp gồm bao loại I và bao loại II:
• Mỗi bao loại I chứa $2\text{ kg}$ chất $X$ và $1\text{ kg}$ chất $Y$, có giá bán $300$ nghìn đồng.
• Mỗi bao loại II chứa $1\text{ kg}$ chất $X$ và $2\text{ kg}$ chất $Y$, có giá bán $250$ nghìn đồng.
Do diện tích kho dự trữ có hạn nên mỗi ngày trang trại chỉ có thể sử dụng tối đa $40$ bao thức ăn của cả hai loại.
Hỏi chi phí mua thức ăn thấp nhất trong một ngày mà trang trại phải chi trả là bao nhiêu nghìn đồng?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Bài toán quy hoạch tuyến tính hai biến gồm các bước tiêu biểu:
- Gọi biến và đặt điều kiện: Gọi $x, y$ lần lượt là số lượng các đại lượng cần tìm ($x, y \ge 0$).
- Lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: Biểu diễn các điều kiện ràng buộc trong thực tế bằng các bất phương trình. Tương tự như bài toán tìm giá trị nhỏ nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình, ta xác định miền đa giác nghiệm.
- Thiết lập hàm mục tiêu: $F(x; y) = ax + by$ đại diện cho chi phí, lợi nhuận hoặc thời gian.
- Tìm giá trị tối ưu: Theo định lý biểu diễn, giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số bậc nhất hai biến trên một miền đa giác luôn đạt tại một trong các đỉnh của miền đa giác đó. Ta chỉ cần tính giá trị của $F(x; y)$ tại từng đỉnh và kết luận.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Chọn ẩn và thiết lập hệ bất phương trình
Gọi $x, y$ lần lượt là số bao thức ăn loại I và loại II mà trang trại sử dụng trong một ngày ($x, y \ge 0$).
Theo đề bài, ta có các ràng buộc sau:
- Lượng chất $X$ cung cấp: $2x + y \ge 40$.
- Lượng chất $Y$ cung cấp: $x + 2y \ge 50$.
- Tổng số bao không vượt quá sức chứa của kho: $x + y \le 40$.
Ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
$$\begin{cases} 2x + y \ge 40 \\ x + 2y \ge 50 \\ x + y \le 40 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$Bước 2: Xác định miền nghiệm
Vẽ các đường thẳng biên trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$:
- $d_1: 2x + y = 40$
- $d_2: x + 2y = 50$
- $d_3: x + y = 40$
Tìm tọa độ giao điểm của các đường biên thuộc miền nghiệm:
- Giao điểm của $d_1$ và $d_2$: Giải hệ $\begin{cases} 2x + y = 40 \\ x + 2y = 50 \end{cases} \implies M(10; 20)$.
Kiểm tra $10 + 20 = 30 \le 40$ (thỏa mãn). - Giao điểm của $d_2$ và $d_3$: Giải hệ $\begin{cases} x + 2y = 50 \\ x + y = 40 \end{cases} \implies N(30; 10)$.
Kiểm tra $2(30) + 10 = 70 \ge 40$ (thỏa mãn). - Giao điểm của $d_1$ và $d_3$: Giải hệ $\begin{cases} 2x + y = 40 \\ x + y = 40 \end{cases} \implies P(0; 40)$.
Kiểm tra $0 + 2(40) = 80 \ge 50$ (thỏa mãn).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác $MNP$ (kể cả biên) với các đỉnh $M(10; 20)$, $N(30; 10)$ và $P(0; 40)$.
Bước 3: Tối ưu hóa chi phí
Tổng chi phí mua thức ăn trong một ngày (tính theo nghìn đồng) là:
$$F(x; y) = 300x + 250y$$Tính giá trị của biểu thức $F(x; y)$ tại các đỉnh của miền tam giác $MNP$:
- Tại $M(10; 20)$: $F(10; 20) = 300 \cdot 10 + 250 \cdot 20 = 3\,000 + 5\,000 = 8\,000$ (nghìn đồng).
- Tại $N(30; 10)$: $F(30; 10) = 300 \cdot 30 + 250 \cdot 10 = 9\,000 + 2\,500 = 11\,500$ (nghìn đồng).
- Tại $P(0; 40)$: $F(0; 40) = 300 \cdot 0 + 250 \cdot 40 = 10\,000$ (nghìn đồng).
So sánh các giá trị trên, ta thấy $F(x; y)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $8\,000$ nghìn đồng khi $x = 10$ và $y = 20$. Phương pháp này cũng tương tự các bài toán tối ưu hóa trong bài toán
Để lại phản hồi