Một công ty may sản xuất hai mẫu áo sơ mi và áo khoác. Để sản xuất $1$ áo sơ mi cần $2\text{ m}$ vải và $3$ giờ công; $1$ áo khoác cần $4\text{ m}$ vải và $2$ giờ công. Kho có sẵn $400\text{ m}$ vải và xưởng có tối đa $360$ giờ công may. Biết mỗi áo sơ mi cho lợi nhuận $150$ nghìn đồng, mỗi áo khoác cho lợi nhuận $200$ nghìn đồng. Tính số tiền lãi lớn nhất mà công ty có thể thu được (đơn vị: triệu đồng)

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện

Gọi $x$ là số áo sơ mi và $y$ là số áo khoác mà công ty may sản xuất ($x, y \ge 0$, $x, y \in \mathbb{N}$).

Bước 2: Thiết lập hệ bất phương trình

Số mét vải cần sử dụng là: $2x + 4y$ (mét). Do tổng số vải không quá $400\text{ m}$, ta có bất phương trình:

$$2x + 4y \le 400 \iff x + 2y \le 200$$

Số giờ công may cần sử dụng là: $3x + 2y$ (giờ). Do thời gian không quá $360$ giờ, ta có:

$$3x + 2y \le 360$$

Từ đó, ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện thực tế:

$$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + 2y \le 200 \\ 3x + 2y \le 360 \end{cases}$$

Bước 3: Xác định miền nghiệm và các đỉnh

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác $OABC$ kể cả biên (như hình vẽ) với tọa độ các đỉnh:

• $O(0; 0)$ là gốc tọa độ.
• $A(120; 0)$ là giao điểm của đường thẳng $3x + 2y = 360$ với trục $Ox$.
• $B(80; 60)$ là giao điểm của hai đường thẳng $x + 2y = 200$ và $3x + 2y = 360$. Thật vậy, giải hệ $\begin{cases} x + 2y = 200 \\ 3x + 2y = 360 \end{cases} \iff \begin{cases} 2x = 160 \\ y = \frac{200 – x}{2} \end{cases} \iff \begin{cases} x = 80 \\ y = 60 \end{cases}$.
• $C(0; 100)$ là giao điểm của đường thẳng $x + 2y = 200$ với trục $Oy$.

Bước 4: Tính giá trị lợi nhuận và kết luận

Tổng tiền lãi mà công ty thu được (đơn vị: nghìn đồng) là:

$$F(x; y) = 150x + 200y$$

Giá trị của $F(x; y)$ tại các đỉnh của miền nghiệm lần lượt là:

• Tại $O(0; 0)$: $F(0; 0) = 0$ nghìn đồng.
• Tại $A(120; 0)$: $F(120; 0) = 150 \times 120 + 200 \times 0 = 18\,000$ nghìn đồng ($18$ triệu đồng).
• Tại $B(80; 60)$: $F(80; 60) = 150 \times 80 + 200 \times 60 = 12\,000 + 12\,000 = 24\,000$ nghìn đồng ($24$ triệu đồng).
• Tại $C(0; 100)$: $F(0; 100) = 150 \times 0 + 200 \times 100 = 20\,000$ nghìn đồng ($20$ triệu đồng).

So sánh các giá trị trên, giá trị lớn nhất đạt được là $F_{\max} = 24\,000$ nghìn đồng $= 24$ triệu đồng khi may $80$ áo sơ mi và $60$ áo khoác. Quý độc giả có thể tham khảo thêm bài toán tối ưu chi phí trong sản xuất để nắm vững phương pháp giải các bài toán thực tế tương tự.

👉 Đáp số (kết quả điền số): 24