Tìm tập giá trị của hàm số $y = 5 – 2\cos\left(2x – \frac{\pi}{3}\right)$

Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số

Hàm số xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$, do đó tập xác định là $D = \mathbb{R}$.

Bước 2: Đánh giá miền giá trị của hàm số lượng giác cơ bản

Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta luôn có:

$$\displaystyle -1 \le \cos\left(2x – \frac{\pi}{3}\right) \le 1$$

Bước 3: Nhân hai vế với $-2$ và đổi chiều bất đẳng thức

$$\displaystyle 2 \ge -2\cos\left(2x – \frac{\pi}{3}\right) \ge -2$$

hay viết lại theo chiều từ bé đến lớn:

$$\displaystyle -2 \le -2\cos\left(2x – \frac{\pi}{3}\right) \le 2$$

Bước 4: Cộng $5$ vào các vế của bất đẳng thức

$$\displaystyle 5 – 2 \le 5 – 2\cos\left(2x – \frac{\pi}{3}\right) \le 5 + 2$$$$\displaystyle \iff 3 \le y \le 7$$

Bước 5: Kiểm tra dấu đẳng thức xảy ra

• $y = 3 \iff \cos\left(2x – \frac{\pi}{3}\right) = 1 \iff 2x – \frac{\pi}{3} = k2\pi \iff x = \frac{\pi}{6} + k\pi\; (k \in \mathbb{Z})$.
• $y = 7 \iff \cos\left(2x – \frac{\pi}{3}\right) = -1 \iff 2x – \frac{\pi}{3} = \pi + k2\pi \iff x = \frac{2\pi}{3} + k\pi\; (k \in \mathbb{Z})$.

Do đó, $\min_{\mathbb{R}} y = 3$ và $\max_{\mathbb{R}} y = 7$.

👉 Kết luận / Đáp án: Chọn đáp án A ($T = [3; 7]$)