(THPT Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và nhận giá trị không âm trên \(\left[ { – 1;2} \right]\) và thoả mãn \(f\left( x \right) = f\left( {1 – x} \right),\;\forall x \in \left[ { – 1;2} \right]\). Đặt \({S_1} = \int\limits_{ – 1}^2 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} \), \({S_2}\)là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = – 1;\;x = 2\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. \({S_1} = 2{S_2}\).

B. \({S_1} = 3{S_2}\).

C. \(2{S_1} = {S_2}\).

D. \(3{S_1} = {S_2}\).

Lời giải:

Chọn C

Có \({S_2}\)là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = – 1;\;x = 2 \Rightarrow {S_2} = \int\limits_{ – 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

Xét \({S_1} = \int\limits_{ – 1}^2 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} \).

Đặt \(x = 1 – t \Rightarrow {\rm{d}}x = – {\rm{d}}t\). Đổi cận \(x = – 1 \Rightarrow t = 2\); \(x = 2 \Rightarrow t = – 1\).

Ta có: \({S_1} = \int\limits_{ – 1}^2 {\left( {1 – t} \right)f\left( {1 – t} \right){\rm{d}}t} \)\( = \int\limits_{ – 1}^2 {\left( {1 – t} \right)f\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int\limits_{ – 1}^2 {f\left( t \right){\rm{d}}t – \int\limits_{ – 1}^2 {t.f\left( t \right){\rm{d}}t} } = {S_2} – {S_1}\).

Do đó, \(2{S_1} = {S_2}\).