Câu hỏi:
(THPT Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và nhận giá trị không âm trên \(\left[ { – 1;2} \right]\) và thoả mãn \(f\left( x \right) = f\left( {1 – x} \right),\;\forall x \in \left[ { – 1;2} \right]\). Đặt \({S_1} = \int\limits_{ – 1}^2 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} \), \({S_2}\)là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = – 1;\;x = 2\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. \({S_1} = 2{S_2}\).
B. \({S_1} = 3{S_2}\).
C. \(2{S_1} = {S_2}\).
D. \(3{S_1} = {S_2}\).
Lời giải:
Chọn C
Có \({S_2}\)là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = – 1;\;x = 2 \Rightarrow {S_2} = \int\limits_{ – 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
Xét \({S_1} = \int\limits_{ – 1}^2 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} \).
Đặt \(x = 1 – t \Rightarrow {\rm{d}}x = – {\rm{d}}t\). Đổi cận \(x = – 1 \Rightarrow t = 2\); \(x = 2 \Rightarrow t = – 1\).
Ta có: \({S_1} = \int\limits_{ – 1}^2 {\left( {1 – t} \right)f\left( {1 – t} \right){\rm{d}}t} \)\( = \int\limits_{ – 1}^2 {\left( {1 – t} \right)f\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int\limits_{ – 1}^2 {f\left( t \right){\rm{d}}t – \int\limits_{ – 1}^2 {t.f\left( t \right){\rm{d}}t} } = {S_2} – {S_1}\).
Do đó, \(2{S_1} = {S_2}\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Ứng dụng Tích phân
Trả lời