(THPT Nguyễn Tất Thành-Đh-SP-HN-2022) Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2{\sin ^2}x + 1\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 0\\{2^x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x \ge 0\end{array} \right.\). Giả sử \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn điều kiện \(F\left( 1 \right) = \frac{2}{{\ln 2}}\). Tính \(F\left( { – \pi } \right)\).

A. \(F\left( { – \pi } \right) = – 2\pi + \frac{1}{{\ln 2}}\).

B. \(F\left( { – \pi } \right) = – \pi – \frac{1}{{\ln 2}}\).

C. \(F\left( { – \pi } \right) = – 2\pi \).

D. \(F\left( { – \pi } \right) = – 2\pi – \frac{1}{{\ln 2}}\).

Lời giải:

Chọn A

Ta có \(\int\limits_{ – \pi }^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ – \pi }^0 {\left( {2{{\sin }^2}x + 1} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^1 {{2^x}{\rm{d}}x} = \left( { – \frac{1}{2}\sin 2x + 2x} \right)_{ – \pi }^0 + \left. {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right|_0^1 = 2\pi + \frac{1}{{\ln 2}}\)

Mặt khác \(\int\limits_{ – \pi }^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ – \pi }^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = f\left( 1 \right) – f\left( { – \pi } \right)\)

Khi đó: \(f\left( 1 \right) – f\left( { – \pi } \right) = 2\pi + \frac{1}{{\ln 2}} \Leftrightarrow f\left( { – \pi } \right) = – 2\pi + \frac{1}{{\ln 2}}\)