(THPT Nguyễn Tất Thành-Đh-SP-HN-2022) Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn các điều kiện \(f\left( x \right) > 0{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\)\(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f’\left( x \right) = – 4{x^3}{\left( {f\left( x \right)} \right)^2}{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {{x^3}.f} \left( x \right){\rm{d}}x\).

A. \(I = \frac{{\ln 2}}{4}\).

B. \(I = \ln 2\).

C. \(I = \frac{1}{4}\).

D. \(I = \frac{1}{6}\).

Lời giải:

Chọn A

Cách 1.

Ta có: \(f’\left( x \right) = – 4{x^3}{\left( {f\left( x \right)} \right)^2}{\rm{ }} \Rightarrow \frac{{f’\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = – 4{x^3} \Leftrightarrow \frac{1}{{f\left( x \right)}} = \int {4{x^3}{\rm{d}}x = {x^4} + C} \)

Do \(f\left( 0 \right) = 1\) nên \(C = 1\). Từ đó:\(f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^4} + 1}} \Rightarrow {x^3}f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{{{x^4} + 1}}\)

Vậy\(I = \int\limits_0^1 {{x^3}f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^3}}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x = \frac{1}{4}\int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}\left( {{x^4} + 1} \right)}}{{{x^4} + 1}} = \frac{1}{4}\ln \left. {\left( {{x^4} + 1} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{4}\ln 2} } } \).