(THPT Lê Thánh Tông – HCM-2022) Cho hai hàm đa thức \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) và \(g\left( x \right) = m{x^2} + nx + p\). Biết rằng đồ thị hai

hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \( – 1;2;4\) đồng thời cắt trục tung lần lượt tại \(M,N\)sao cho \(MN = 6\)( tham khảo hình vẽ).

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đã cho ( phần gạch sọc) có diện tích bằng

A. \(\frac{{125}}{8}\).

B. \(\frac{{253}}{{24}}\).

C. \(\frac{{253}}{{16}}\).

D. \(\frac{{253}}{{12}}\).

Lời giải:

Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là:

\(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = m{x^2} + nx + p \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {b – m} \right){x^2} + \left( {c – n} \right)x + d – p = 0\)

Do đồ thị hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \( – 1;2;4\) nên ta được \(a\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right) = a{x^3} + \left( {b – m} \right){x^2} + \left( {c – n} \right)x + d – p\).

Mà \(f\left( 0 \right) – g\left( 0 \right) = {y_M} – {y_n} = MN = 6\). Suy ra \(a = \frac{3}{4}\).

Do đó: \(f\left( x \right) – g\left( x \right) = \frac{3}{4}\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right)\).

Khi đó: \(S = \int\limits_{ – 1}^4 {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x = } \int\limits_{ – 1}^4 {\left| {\frac{3}{4}\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right)} \right|{\rm{d}}x = } \frac{{253}}{{16}}\).