Câu hỏi:
(THPT Hương Sơn – Hà Tĩnh – 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 2\); \(f’\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\). Giá trị \(f\left( 3 \right)\) bằng
A. \(\sqrt[3]{{34}}\).
B. \(34\).
C. \(3\).
D. \(\sqrt[3]{{20}}\).
Lời giải:
Chọn A
Ta có \(f’\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} \Leftrightarrow f’\left( x \right).{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} = {x^2}\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
\(\int {f’\left( x \right).{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}} {\rm{d}}x = \int {{x^2}} {\rm{d}}x \Leftrightarrow \frac{{{f^3}\left( x \right)}}{3} = \frac{{{x^3}}}{3} + C\).
Theo đề bài \(f\left( 1 \right) = 2\) nên ta có: \(\frac{8}{3} = \frac{1}{3} + C \Leftrightarrow C = \frac{8}{3} – \frac{1}{3} = \frac{7}{3}.\)
Khi đó \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^3} + 7}} \Rightarrow f\left( 3 \right) = \sqrt[3]{{34}}\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Ứng dụng Tích phân
Trả lời