(THPT Hương Sơn – Hà Tĩnh – 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 2\); \(f’\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\). Giá trị \(f\left( 3 \right)\) bằng

A. \(\sqrt[3]{{34}}\).

B. \(34\).

C. \(3\).

D. \(\sqrt[3]{{20}}\).

Lời giải:

Chọn A

Ta có \(f’\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} \Leftrightarrow f’\left( x \right).{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} = {x^2}\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\(\int {f’\left( x \right).{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}} {\rm{d}}x = \int {{x^2}} {\rm{d}}x \Leftrightarrow \frac{{{f^3}\left( x \right)}}{3} = \frac{{{x^3}}}{3} + C\).

Theo đề bài \(f\left( 1 \right) = 2\) nên ta có: \(\frac{8}{3} = \frac{1}{3} + C \Leftrightarrow C = \frac{8}{3} – \frac{1}{3} = \frac{7}{3}.\)

Khi đó \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^3} + 7}} \Rightarrow f\left( 3 \right) = \sqrt[3]{{34}}\).