(THPT Bùi Thị Xuân – Huế – 2022) Cho hai hàm số \(f(x) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + 3x\) và \(g(x) = m{x^3} + n{x^2} – x\), với \(a,b,c,m,n \in \mathbb{R}\). Biết hàm số \(y = f(x) – g(x)\) có ba điểm cực trị là \( – 3,1\) và 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y = f\prime (x)\) và \(y = g\prime (x)\) bằng

A. \(\frac{{935}}{{36}}\).

B. \(\frac{{941}}{{36}}\).

C. \(\frac{{937}}{{36}}\).

D. \(\frac{{939}}{{36}}\).

Lời giải:

Ta có: \(f(x) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + 3x \Rightarrow f\prime (x) = 4a{x^3} + 3b{x^2} + 2cx + 3\).

Ta có: \(g(x) = m{x^3} + n{x^2} – x \Rightarrow g\prime (x) = 3m{x^2} + 2mx – 1\).

\(y = f(x) – g(x) \Rightarrow y\prime = f\prime (x) – g\prime (x) = 4a{x^3} + 3(b – m){x^2} + 2(c – n)x + 4.\)\(\)

\(y\prime = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = – 3}\\{x = 1}\\{x = 4}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a{{( – 3)}^3} + 3(b – m){{( – 3)}^2} + 2(c – n)( – 3) + 4 = 0}\\{4a \cdot {1^3} + 3(b – m) \cdot {1^2} + 2(c – n) \cdot 1 + 4 = 0}\\{4a \cdot {4^3} + 3(b – m) \cdot {4^2} + 2(c – n) \cdot 4 + 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{1}{{12}}}\\{b – m = \frac{{ – 2}}{9}}\\{c – n = \frac{{ – 11}}{6}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

\(S = \int_{ – 3}^4 {\left| {f\prime (x) – g\prime (x)} \right|} dx = \int_{ – 3}^4 {\left| {\frac{1}{3}{x^3} – \frac{2}{3}{x^2} – \frac{{11}}{3}x + 4} \right|} dx = \frac{{937}}{{36}}.\)\(\)