Tính chất của hàm số

Đề bài: Cho các hàm số : $f(x) = \frac{x}{{1 + \left| x \right|}},g(x) = \frac{x}{{1 - \left| x \right|}}$$    a)$ Tìm miền xác định và miền giá trị của $f(x) $ và $g(x).$$  b)$ Tìm $g_0f$ và $f_0g.$ Lời giải $a)$ $f(x) = \frac{x}{{1 + \left| x \right|}}$ có miền xác định : $D = R$    $f( - x) =  - \frac{x}{{1 + \left| x \right|}} = -f(x) \Rightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho các hàm số : $f(x) = \frac{x}{{1 + \left| x \right|}},g(x) = \frac{x}{{1 – \left| x \right|}}$$    a)$ Tìm miền xác định và miền giá trị của $f(x) $ và $g(x).$$  b)$ Tìm $g_0f$ và $f_0g.$

Đề bài: Cho hàm số $f(x)=\frac{4^x}{4^x+2} $ Chứng minh rằng nếu $a+b=1$ thì $f(a)+f(b)=1$ Lời giải $f(a)+f(b)=\frac{4^a}{4^a+2}+ \frac{4^b}{4^b+2}=\frac{4^{a+b}+2.4^a+4^{a+b}+2+4^b}{(4^a+2)(4^b+2)}$$=\frac{2.4^1+2.4^a+2.4^b}{4^{a+b}+2.4^a+2.4^b+4} =\frac{2(4^a+4^b+4)}{2(4^a+4^b+4)}=1 $ … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số $f(x)=\frac{4^x}{4^x+2} $ Chứng minh rằng nếu $a+b=1$ thì $f(a)+f(b)=1$

Đề bài: a) Điểm $A(-2;2)$ có nằm trên đồ thị hàm số $y=-2(x+1)$ hay không ? Giải thích vì sao.b) Tìm phương trình đường thẳng đi qua giao điểm hai đường thẳng $y=2x+1, y=3x-4$ và song song với đường thẳng $y=\sqrt{2}x+15. $ Lời giải a) Thay tọa độ điểm $A$ vào PT đường thẳng đã cho ta thấy $2 = -2(-2+1)$. Do đó điểm $A(-2; 2)$ thuộc đường thẳng $y=-2(x+1)$. b) Hoành độ … [Đọc thêm...] vềĐề: a) Điểm $A(-2;2)$ có nằm trên đồ thị hàm số $y=-2(x+1)$ hay không ? Giải thích vì sao.b) Tìm phương trình đường thẳng đi qua giao điểm hai đường thẳng $y=2x+1, y=3x-4$ và song song với đường thẳng $y=\sqrt{2}x+15. $

Đề bài: Xác định tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của các hàm số sau:a) $y=\tan (2x-\frac{\pi}{4} )$                         b) $y= 2\sin^2(3x+\frac{\pi}{5} )$ Lời giải a) Hàm số $y=\tan (2x-\frac{\pi}{4} )$ tuần hoàn, có chu kì $\frac{\pi}{2} $.b) $y=2\sin^2(3x+\frac{\pi}{5} )=1-\cos(6x+\frac{2\pi}{5} )$ là tuần hoàn có chu kì $\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}  $ … [Đọc thêm...] vềĐề: Xác định tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của các hàm số sau:a) $y=\tan (2x-\frac{\pi}{4} )$                         b) $y= 2\sin^2(3x+\frac{\pi}{5} )$

Đề bài: Cho hàm số $f(x)$ xác định và có đạo hàm mọi cấp trên $R$, và thỏa mãn điều kiện     $f'( {\frac{{x + y}}{2}} ) = \frac{{f(y) - f(x)}}{{y - x}},\forall x, y \in  R,x \ne y$        (1)Chứng minh:  $f(x) = f''(0)\frac{{{x^2}}}{2} + f'(0)x + f(0),\forall x \in R$ Lời giải Cố định $y \ne 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} = \frac{{(x - y) + (x + y)}}{2} \in … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số $f(x)$ xác định và có đạo hàm mọi cấp trên $R$, và thỏa mãn điều kiện     $f'( {\frac{{x + y}}{2}} ) = \frac{{f(y) – f(x)}}{{y – x}},\forall x, y \in  R,x \ne y$        (1)Chứng minh:  $f(x) = f''(0)\frac{{{x^2}}}{2} + f'(0)x + f(0),\forall x \in R$

Đề bài: Xét sự biến thiên của các hàm sốa) $y=\frac{x}{x-1} $;                           b) $y=-\frac{1}{x}$;                          c) $y=\frac{1}{x^2}$. Lời giải a) Tập xác định  $D=(-\infty ,1)\cup (1,+\infty ).$ *, Lấy $x_1,x_2 $\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} … [Đọc thêm...] vềĐề: Xét sự biến thiên của các hàm sốa) $y=\frac{x}{x-1} $;                           b) $y=-\frac{1}{x}$;                          c) $y=\frac{1}{x^2}$.

Đề bài: Cho hàm số:  $y = 4x^3 + mx$a) Tùy theo các giá trị của $a$, hãy xét sự biến thiên của hàm sốb) Xác định $m$ để $\left| y \right| \le 1$ khi $\left| x \right| \le 1$ Lời giải a) Hàm số được xác định với mọi $x$, có đạo hàm $y' = 12{x^2} + m$•    Với $m > 0$ ta có $y' \ge 0$ với mọi $x$, suy ra $y$ luôn đồng biến với mọi $x$.•    Với $m Ta có … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số:  $y = 4x^3 + mx$a) Tùy theo các giá trị của $a$, hãy xét sự biến thiên của hàm sốb) Xác định $m$ để $\left| y \right| \le 1$ khi $\left| x \right| \le 1$

Đề bài: Cho $A = R/\left\{ 1 \right\}$ và ánh xạ \(f:A \to A\) xác định như sau:$f:x \to \frac{x + 1}{x - 1}$ a.    Chứng minh rằng $f$ là một song ánh. b.    Xác định ánh xại ngược $f^{ - 1}$. Có nhận xét gì  ? Lời giải a.    Ta có : $\begin{array}{l}\left( {\forall {y_0} \in A,f\left( x \right) = {y_0}} \right) \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho $A = R/\left\{ 1 \right\}$ và ánh xạ \(f:A \to A\) xác định như sau:$f:x \to \frac{x + 1}{x – 1}$ a.    Chứng minh rằng $f$ là một song ánh. b.    Xác định ánh xại ngược $f^{ – 1}$. Có nhận xét gì  ?

Đề bài: Cho hàm số $y = f(x) = \frac{x}{{1 + \left| x \right|}}$ $\left( {x \in R } \right)$Chứng minh hàm số đó có hàm số ngược $y = g(x)$ xác định trong khoảng $(-1, 1)$. Tìm hàm số $g(x)$ Lời giải $\left| y \right| = \frac{{\left| x \right|}}{{1 + \left| x \right|}} \Leftrightarrow  - 1 … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số $y = f(x) = \frac{x}{{1 + \left| x \right|}}$ $\left( {x \in R } \right)$Chứng minh hàm số đó có hàm số ngược $y = g(x)$ xác định trong khoảng $(-1, 1)$. Tìm hàm số $g(x)$

Đề bài: Cho $a, c$ là hai hằng số; $f(x)$ là một hàm số xác định trên $R$ và thỏa mãn điều kiện$af(x) = f'(x),\forall x \in R$;  $f(0) = c$.  Chứng minh rằng $f(x) = ce^{ax},\forall x \in R$.Từ kết quả đó hãy tìm hàm $g(x)$ nếu biết:  $\int\limits_0^x g(t)dt = g(x),\forall x \in R $ Lời giải Ta có :  ${\rm{[}}{e^{ - {\rm{ax}}}}f(x){\rm{]}}' = {e^{ - {\rm{ax}}}}f'(x) - … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho $a, c$ là hai hằng số; $f(x)$ là một hàm số xác định trên $R$ và thỏa mãn điều kiện$af(x) = f'(x),\forall x \in R$;  $f(0) = c$.  Chứng minh rằng $f(x) = ce^{ax},\forall x \in R$.Từ kết quả đó hãy tìm hàm $g(x)$ nếu biết:  $\int\limits_0^x g(t)dt = g(x),\forall x \in R $