(Sở Ninh Bình 2022) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = {x^2} + 2x + 1\) và đường thẳng \(y = \) \((m + 1)x + 5\) có giá trị nhỏ nhất bằng

A. \(\frac{{16}}{3}\).

B. \(\frac{{48}}{3}\).

C. \(\frac{{64}}{3}\).

D. \(\frac{{32}}{3}\).

Lời giải:.

Phương trình hoành độ giao điểm

\({x^2} + 2x + 1 = (m + 1)x + 5 \Leftrightarrow {x^2} + (1 – m)x – 4 = 0.\)\(\)

Với mọi \(m\) ta đều có \(ac = – 4 < 0\) nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm \({x_1},{x_2},\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\). Theo định lí Vi-et, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m – 1}\\{{x_1}{x_2} = – 4}\end{array}} \right.\) và

\({x_2} – {x_1} = \sqrt {{{\left( {{x_2} – {x_1}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}^2} – 4{x_1}{x_2}} = \sqrt {{{(m – 1)}^2} + 16} .\)\(\)

Khi đó hình phẳng luôn tồn tại và có diện tích là

\(\begin{array}{l}S = \int_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {{x^2} + (1 – m)x – 4} \right|} dx = \left| {\int_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {{x^2} + (1 – m)x – 4} \right)} dx} \right|\\ = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + (1 – m)\frac{{{x^2}}}{2} – 4x} \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}} \right| = \frac{1}{6}\left| {\left. {\left( {2{x^3} + 3(1 – m){x^2} – 24x} \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}} \right|\mid \end{array}\)

\( = \left| {\frac{{{m^2} – 2m + 17}}{6}\left( {{x_2} – {x_1}} \right)} \right| = \frac{{{{\left( {\sqrt {{m^2} – 2m + 17} } \right)}^3}}}{6} = \frac{{{{\left( {\sqrt {{{(m – 1)}^2} + 16} } \right)}^3}}}{6} \ge \frac{{{4^3}}}{6} = \frac{{32}}{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(m = 1\). Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S\) bằng \(\frac{{32}}{3}\).