(Sở Hà Tĩnh 2022) Cho \(f(x)\) là hàm đa thức bậc bốn và có đổ thị như hình vẽ. Hình phắng gióri hạn bởi đổ thị hai hàm số \(y = f(x)\); \(y = f\prime (x)\) có diện tích bằng

A. \(\frac{{127}}{{40}}\).

B. \(\frac{{107}}{5}\).

C. \(\frac{{87}}{{40}}\).

D. \(\frac{{127}}{{10}}\).

Lời giải:

Ta có \(f(x) = k{(x + 2)^2}{(x – 1)^2};f( – 1) = 1 \Leftrightarrow 4k = 1 \Leftrightarrow k = \frac{1}{4} \Rightarrow f(x) = \frac{1}{4}{(x + 2)^2}{(x – 1)^2}\).

Do đó \(f\prime (x) = \frac{1}{4}\left[ {2(x + 2){{(x – 1)}^2} + 2(x – 1){{(x + 2)}^2}} \right]\).

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{4}{(x + 2)^2}{(x – 1)^2} = \frac{1}{4}\left[ {2(x + 2){{(x – 1)}^2} + 2(x – 1){{(x + 2)}^2}} \right]\\ \Leftrightarrow \frac{1}{4}(x + 2)(x – 1)[(x + 2)(x – 1) – 2(x – 1) – 2(x + 2)] = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{4}(x + 2)(x – 1)\left( {{x^2} – 3x – 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = – 2;x = – 1;x = 1;x = 4.\end{array}\)\(\)

Vì vậy \(S = \int_{ – 2}^4 {\left| {f(x) – f\prime (x)} \right|} dx = \int_{ – 2}^4 {\left| {\frac{1}{4}(x + 2)(x – 1)\left( {{x^2} – 3x – 4} \right)} \right|} dx = \frac{{107}}{5}\).