Người ta thay nước mới cho một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là ${h_1=280 {cm}}$. Giả sử ${h(t)}$ là chiều cao (tính bằng cm) của mực nước bơm được tại thời điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều cao mực nước tại giây thứ ${t}$ là ${h^{\prime}(t)=\dfrac{1}{500} \sqrt[3]{t+3}
}$ và lúc đầu hồ bơi không có nước. Hỏi sau bao nhiêu giây thì nước bơm được ${\dfrac{3}{4}}$ độ sâu của hồ bơi? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Cho biết $$
Lời giải
Trả lời: 7234
Ta biết rằng, chiều cao ${h(t)}$ của mực nước bơm được chính là nguyên hàm của tốc độ tăng ${h^{\prime}(t)}$ của chiều cao mực nước.
${h(t)=\int h^{\prime}(t) d t=\int \dfrac{1}{500} \sqrt[3]{t+3} d t=\dfrac{3}{2000}(t+3)^{\dfrac{4}{3}}+C .
}$
Lúc ban đầu (tại ${t=0}$ ) hồ bơi không chứa nước, nghĩa là
${h(t)=0 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2000}(0+3)^{\dfrac{4}{3}}+C=0 \Leftrightarrow C=-\dfrac{3^{\dfrac{7}{3}}}{2000} .
}$
Suy ra mực nước bơm được tại thời điểm ${t}$ giây là
${h(t)=\dfrac{3}{2000}(t+3)^{\dfrac{4}{3}}-\dfrac{3^{\dfrac{7}{3}}}{2000} .
}$
Theo giả thiết, lượng nước bơm được bằng ${\dfrac{3}{4}}$ độ sâu của hồ bơi nên ta có
${\begin{array}{l}
h(t)=\dfrac{3}{4} h_1 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2000}(t+3)^{\dfrac{4}{3}}-\dfrac{3^{\dfrac{7}{3}}}{2000}=\dfrac{3}{4} \cdot 280 \\
\Leftrightarrow(t+3)^{\dfrac{4}{3}}=140004,33 \\
\Leftrightarrow t \approx 7234 \text { (s). }
\end{array}
}$