Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm $500$ vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng

Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm $500$ vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi $P(t)$ là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo ngày $(0\le t\le 10)$. Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số $P'(t)=k\sqrt{t}$, trong đó k là hằng số. Sau 1 ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 600 vi khuẩn (Nguồn: R. Larson and
Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau $9$ ngày.
Đáp án: 3200
Lời giải: Ta có $P(t)=\displaystyle\int P'(t)\mathrm{d}t=\displaystyle\int k\sqrt{t} \mathrm{d}t=\displaystyle\int k\cdot t^{\tfrac{1}{2}}\mathrm{d}t=k\cdot\dfrac{2}{3}t\sqrt{t}+C$.
Từ giả thiết suy ra $\left\{\begin{array}{l} P(0)=500\\ P(1)=600 \end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l} k\cdot\dfrac{2}{3}\cdot0\sqrt 0+C=500\\ k\cdot\dfrac{2}{3}\cdot1\sqrt 1+C=600\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l} C=500\\ \dfrac{2}{3}k=100\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l} C=500\\ k=150.\end{array}\right.$
$\Rightarrow P(t)=100t\sqrt t+500$.
Do đó, số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau $9$ ngày là $P(9)=100\cdot 9\sqrt{9}+500=3200$.