Một gia đình sản xuất chiếu cói ở Nga Sơn mỗi ngày sản xuất được $x$ chiếc chiếu $\left( 0\le x\le 20 \right)$ Chi phí biên để sản xuất $x$ chiếc chiếu ( tính bằng nghìn đồng) cho bởi hàm số sau: ${C}’\left( x \right)=3{{x}^{2}}-4x+10$. Biết rằng chi phí cố định ban đầu để sản xuất là $500$ nghìn đồng. Giả sử gia đình này bán hết chiếu mỗi ngày với giá $270$ nghìn đồng / chiếc chiếu. Tính lợi nhuận tối đa theo đơn vị nghìn đồng mà gia đình đó thu được?
Lời giải
Đáp án: $1300$
Chi phí để sản xuất $x$ chiếc chiếu ( tính bằng nghìn đồng) là hàm số:
$C\left( x \right)=\int{{C}’\left( x \right)}\text{d}x=\int{\left( 3{{x}^{2}}-4x+10 \right)\text{d}x}={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+10x+c$.
Do chi phí cố định ban đầu để sản xuất là $500$ nghìn đồng nên $c=500$
Từ đó ta có lợi nhuận theo đơn vị nghìn đồng mà mỗi ngày gia đình đó thu được là:
$L\left( x \right)=270x-\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+10x+500 \right)=-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+260x-500$
${L}’\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+4x+260=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x=10 \\
x=-\dfrac{26}{3} \\
\end{array} \right.$.
Mà $0\le x\le 20$ nên $x=10$.
Lợi nhuận tối đa mà gia đình đó thu được là: $L\left( 10 \right)=1300$ ( nghìn đồng)