Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
(MH 2021) Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Biết hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_2} = {x_1} + 2\) và \(f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) = 0\). Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) bằng
A. \(\frac{3}{4}\).
B. \(\frac{5}{8}\).
C. \(\frac{3}{8}\).
D. \(\frac{3}{5}\).
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Từ đồ thị hàm số suy ra phương trình hàm số
\(y = f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)
B2: Dựa vào giả thiết tìm mối liên hệ giữa các hệ số của hàm số: \(y = f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)
\( \Rightarrow f’\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\)
\({x_2} = {x_1} + 2\)
\(f’\left( {{x_1}} \right) = f’\left( {{x_2}} \right) = 0 \Rightarrow f’\left( x \right) = 3a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right) = 3a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_1} – 2} \right)\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = a{\left( {x – {x_1}} \right)^3} – 3a{\left( {x – {x_1}} \right)^2} + C\)
Suy ra C
\(f\left( x \right) = 0 \Rightarrow a\left[ {{{\left( {x – {x_1}} \right)}^3} – 3{{\left( {x – {x_1}} \right)}^2} + 2} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1} + 1 – \sqrt 3 \\x = {x_1} + 1\\x = {x_1} + 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\)
B3: Từ đó tính diện tích mỗi phần theo công thức.
Suy ra tỉ số diện tích.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Cách 1
Gọi \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\), với \(a > 0\) \( \Rightarrow f’\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\).
Theo giả thiết ta có \(f’\left( {{x_1}} \right) = f’\left( {{x_2}} \right) = 0 \Rightarrow f’\left( x \right) = 3a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right) = 3a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_1} – 2} \right)\).
\( \Rightarrow f’\left( x \right) = 3a{\left( {x – {x_1}} \right)^2} – 6a\left( {x – {x_1}} \right)\).
\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = a{\left( {x – {x_1}} \right)^3} – 3a{\left( {x – {x_1}} \right)^2} + C\).
Ta có \(f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) = 0 \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_1} + 2} \right) = 0\) \( \Rightarrow C + 8a – 12a + C = 0 \Rightarrow C = 2a\).
Do đó \(f\left( x \right) = a{\left( {x – {x_1}} \right)^3} – 3a{\left( {x – {x_1}} \right)^2} + 2a = a\left[ {{{\left( {x – {x_1}} \right)}^3} – 3{{\left( {x – {x_1}} \right)}^2} + 2} \right]\).
\(f\left( x \right) = 0 \Rightarrow a\left[ {{{\left( {x – {x_1}} \right)}^3} – 3{{\left( {x – {x_1}} \right)}^2} + 2} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1} + 1 – \sqrt 3 \\x = {x_1} + 1\\x = {x_1} + 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\).
Suy ra \({S_2} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_1} + 1} {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_1} + 1} {a\left[ {{{\left( {x – {x_1}} \right)}^3} – 3{{\left( {x – {x_1}} \right)}^2} + 2} \right]{\rm{d}}x} \)
\( = \int\limits_{{x_1}}^{{x_1} + 1} {a\left[ {{{\left( {x – {x_1}} \right)}^3} – 3{{\left( {x – {x_1}} \right)}^2} + 2} \right]{\rm{d}}\left( {x – {x_1}} \right)} \)
\( = \left. {a\left[ {\frac{{{{\left( {x – {x_1}} \right)}^4}}}{4} – {{\left( {x – {x_1}} \right)}^3} + 2\left( {x – {x_1}} \right)} \right]} \right|_{{x_1}}^{{x_1} + 1} = \frac{{5a}}{4}\).
Mặt khác ta có \({S_1} + {S_2} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_1} + 1} {f\left( {{x_1}} \right){\rm{d}}x} = f\left( {{x_1}} \right)\int\limits_{{x_1}}^{{x_1} + 1} {{\rm{d}}x} = f\left( {{x_1}} \right) = 2a\) \( \Rightarrow {S_1} = 2a – {S_2} = \frac{{3a}}{4}\).
Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{3}{5}\).
Cách 2
Rõ ràng kết quả bài toán không đổi nếu ta tịnh tiến đồ thị sang trái cho điểm uốn trùng gốc tọa độ \(O\). Gọi \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) là hàm số khi đó thì dễ thấy\(f\left( x \right)\) lẻ nên có ngay\(b = d = 0\) và \(f\left( x \right) = a{x^3} + cx\) có hai điểm cực trị tương ứng là \( – 1,\,1\) cũng là nghiệm của \(3a{x^2} + c = 0\). Từ đó dễ dàng có \(f\left( x \right) = k\left( {{x^3} – 3x} \right),k > 0\).
Xét diện tích hình chữ nhật \({S_1} + {S_2} = \left| {\left( { – 1} \right).f\left( { – 1} \right)} \right| = 2k\). Ngoài ra,
\({S_2} = k\int\limits_{ – 1}^0 {\left| {{x^3} – 3x} \right|{\rm{d}}x} = \frac{5}{4}k\).
Vì thế \({S_1} = 2k – \frac{{5k}}{4} = \frac{{3k}}{4}\) và \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{3}{5}\)
Để lại phản hồi