Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông \(ABCD\) cạnh \(2{\rm{m}}\) được lát gạch màu trắng và trang trí bởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ trục tọa độ \(Oxy\) với \(O\) là tâm hình vuông sao cho \(A\left( {1;1} \right)\) như hình vẽ bên thì các đường cong \(OA\) có phương trình \(y = {x^2}\) và \(y = a{x^3} + bx\). Tính giá trị \(a.b\) biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm \(\frac{1}{3}\) diện tích mặt sàn.

A. \(2\). B. \( – 2\). C. \( – 3\). D. \(3\). Lời giải: Đồ thị của hàm số \(y = a{x^3} + bx\) đi qua điểm \(A\left( {1;1} \right) \Rightarrow \)\(a + b = 1\). \({S_{ABCD}} = 4\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\). Diện tích của 4 cánh hoa: \({S_1} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}} = \frac{4}{3}\) Diện tích của một cánh hoa: \({S_2} = \frac{1}{4}.\frac{4}{3} = \frac{1}{3}\). Mà: \({S_2} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} – a{x^3} – bx} \right){\rm{d}}x} = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{a{x^4}}}{4} – \frac{{b{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{1}{3}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{3} – \frac{a}{4} – \frac{b}{2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{a}{4} + \frac{b}{2} = 0\). Ta có hệ pt: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\\frac{a}{4} + \frac{b}{2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow ab = – 2\).