Câu hỏi:
(Liên trường Hà Tĩnh – 2022) Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{e^{3x}}\left( {4f(x) + f\prime (x)} \right) = 2\sqrt {f(x)} }\\{f(x) > 0}\end{array},\forall x \ge 0} \right.\) và \(f(0) = 1\). Tính \(I = \int_0^{\ln 2} f (x)dx\)
A. \(I = \frac{{11}}{{24}}.\)
B. \(I = – \frac{1}{{12}}\).
C. \(I = \frac{{209}}{{640}}.\)
D. \(I = \frac{{201}}{{640}}\).
Lời giải:
Ta có: \({e^{3x}}\left( {4f(x) + f\prime (x)} \right) = 2\sqrt {f(x)} \Leftrightarrow 2{e^{2x}}\sqrt {f(x)} + {e^{2x}} \cdot \frac{{f\prime (x)}}{{2\sqrt {f(x)} }} = \frac{1}{{{e^z}}} \Leftrightarrow \left( {{e^{2x}} \cdot \sqrt {f(x)} } \right)\prime = \frac{1}{{{e^z}}}\).
Do đó \({e^{2x}} \cdot \sqrt {f(x)} \) là một nguyên hàm của \(\frac{1}{{{e^x}}}\), tức \({e^{2x}} \cdot \sqrt {f(x)} = – \frac{1}{{{e^x}}} + C\).
Thay \(x = 0\) vào ta được \(C = 2\). Tìm được \(f(x) = {\left( {\frac{2}{{{e^{2x}}}} – \frac{1}{{{e^{3x}}}}} \right)^2}\).
\(I = \int_0^{\ln 2} f (x)dx = \int_0^{\ln 2} {{{\left( {\frac{2}{{{e^{2x}}}} – \frac{1}{{{e^{8x}}}}} \right)}^2}} dx = \int_0^{\ln 2} {\left( {\frac{4}{{{e^{4x}}}} – \frac{4}{{{e^{3x}}}} + \frac{1}{{{e^{6x}}}}} \right)} dx = \frac{{209}}{{640}}.\)\(\)
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Ứng dụng Tích phân
Trả lời