Hai công ty, công ty A và công ty B, cùng ra mắt sản phẩm cạnh tranh thị trường mới vào cùng thời điểm. Thị phần được đo bằng số lượng khách hàng lũy kế.
Công ty A: Bắt đầu với 0 khách hàng. Trong giai đoạn đầu, chiến dịch marketing hiệu quả giúp tốc độ thu hút khách hàng mới của họ tăng dần theo thời gian, được mô tả bởi hàm $f\left( t \right)=2t+7$ (nghìn khách hàng/tháng), với $t$ là số tháng kể từ khi ra mắt.
Công ty B: Nhờ có uy tín từ trước, họ bắt đầu với 10 nghìn khách hàng đặt trước sản phẩm. Sau đó, họ duy trì một tốc độ thu hút khách hàng mới ổn định là 10 nghìn khách hàng/tháng.
Hỏi sau khoảng bao nhiêu tháng kể từ khi ra mắt, tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty A bằng tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty B (tính cả 10 nghìn khách hàng ban đầu) ?
Lời giải
Đáp án: $5$
Gọi ${{P}_{A}}\left( t \right)$ là số lượng khách hàng luỹ kế của công ty A với $t$ là số tháng kể từ khi ra mắt sản phẩm ( $t{>}0$ )
Ta có ${{P}_{A}}\left( t \right)=\int{f\left( t \right)dt=\int{\left( 2t+7 \right)}}dt={{t}^{2}}+7t+C$.
Công ty A bắt đầu với 0 khách hàng nên ${{P}_{A}}\left( 0 \right)=0\Leftrightarrow {{0}^{2}}+7.0+C=0\Leftrightarrow C=0$.
Vậy ${{P}_{A}}\left( t \right)={{t}^{2}}+7t$.
Vì công ty B bắt đầu với 10 nghìn khách hàng đặt trước sản phẩm. Sau đó, họ duy trì một tốc độ thu hút khách hàng mới ổn định là 10 nghìn khách hàng/tháng, nên số lượng khách hàng lũy kế của công ty B sau $t$ tháng ra mắt sản phẩm là ${{P}_{B}}\left( t \right)=10+10t$ ( $t{>}0$ ).
Ta có ${{P}_{A}}\left( t \right)={{P}_{B}}\left( t \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}+7t=10+10t\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t=-10 \\
t=5 \\
\end{array} \right.$
Vì $t{>}0$ nên $t=5$.
Vậy sau 5 tháng ra mắt, tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty A bằng tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty B (tính cả 10 nghìn khách hàng ban đầu).