Gọi \(F( x ) = ( ax^3+ bx^2 + cx + d)e^x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f( x ) = ( 2x^3 + 9x^2 – 2x + 5)e^x\) Tính \(a^2 + b^2 + c^2+ d^2\)

F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên ta có F′(x)=f(x)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{l}}
{F’\left( x \right) = \left( {3a{x^2} + 2bx + c} \right){e^x} + \left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right){e^x}}\\
{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \left( {a{x^3} + \left( {3a + b} \right){x^2} + \left( {2b + c} \right)x + c + d} \right){e^x}}
\end{array}\\
\to \left( {a{x^3} + \left( {3a + b} \right){x^2} + \left( {2b + c} \right)x + c + d} \right){e^x} = \left( {2{x^3} + 9{x^2} – 2x + 5} \right){e^x}
\end{array}\)

Đồng nhất hệ số ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
3a + b = 9\\
2b + c = – 2\\
c + d = 5
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 3\\
c = – 8\\
c = 13
\end{array} \right. \to {a^2} + {b^2} + {c^2} = {d^2} = 246\)