1. Đề Bài Gốc
Một công ty sản xuất bao bì thiết kế một loại khay đựng thực phẩm từ tấm nhôm hình vuông cạnh $12\text{ inch}$. Từ tấm nhôm ban đầu, người ta cắt bỏ bốn góc là các tam giác vuông cân để thu được hình chữ thập, rồi gấp thành khay hình hộp chữ nhật không nắp. Thể tích lớn nhất của khay đựng này bằng bao nhiêu inch khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
2. Dạng Toán & Chủ Đề Liên Quan
Dạng toán: Bài toán tối ưu hóa thể tích hình học không gian sử dụng ứng dụng đạo hàm của hàm số lớp 12.
Chủ đề liên quan: Khảo sát hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, hình học không gian.
3. Phương Pháp Giải & Lý Thuyết
Để giải quyết bài toán tối ưu hóa thực tế này, chúng ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Chọn ẩn số và xác định điều kiện xác định. Gọi kích thước phần cắt hoặc chiều cao của hình hộp là ẩn $x$ ($x > 0$). Dựa vào hình học để biểu diễn các kích thước còn lại của hộp theo $x$.
- Bước 2: Lập hàm số biểu diễn đại lượng cần tối ưu. Viết công thức tính thể tích $V(x)$ của hình hộp chữ nhật theo biến $x$. Tìm tập xác định của hàm số $V(x)$.
- Bước 3: Khảo sát hàm số và tìm GTLN. Tính đạo hàm $V'(x)$, tìm các điểm tới hạn (nghiệm của phương trình $V'(x) = 0$ thuộc miền xác định), lập bảng biến thiên và xác định giá trị lớn nhất của hàm số.
- Bước 4: Kết luận. Trả lời câu hỏi của bài toán, chú ý yêu cầu làm tròn đến hàng phần mười.
4. Lời Giải Chi Tiết Bài Toán Gốc
Giả sử ta cắt bỏ ở bốn góc bốn tam giác vuông cân có cạnh góc vuông là $x$ ($0 < x < 6$).
Khi gấp các cạnh lên, ta thu được hình hộp chữ nhật không nắp có:
- Chiều cao của khay là: $h = x$
- Vì tấm nhôm ban đầu hình vuông cạnh $12\text{ inch}$, sau khi cắt các tam giác vuông cân cạnh $x$ ở bốn góc, phần đáy của khay tạo thành một hình vuông có đường chéo giảm đi hoặc tính theo cạnh: gọi cạnh đáy là $a$. Theo cấu trúc cắt tam giác vuông cân ở 4 góc của tấm nhôm hình vuông cạnh $12$, chiều dài cạnh đáy của hình hộp chữ nhật tạo thành là $12 – 2x$. (Xem kỹ hình vẽ: cắt 4 góc tam giác vuông cân cạnh $x$, cạnh đáy của hình hộp là cạnh của hình chữ thập tương ứng với $12 – 2x$).
Tuy nhiên, theo hình vẽ minh họa đề bài, các góc cắt là các tam giác vuông cân sao cho phần đáy là hình vuông xoay hoặc các góc bị cắt ở 4 góc mép tấm vuông. Cụ thể, tấm nhôm hình vuông cạnh $12$, cắt 4 góc sao cho đáy hộp là hình vuông ở giữa. Cạnh hình vuông đáy bằng $ rac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$ hoặc tùy theo cách cắt gập. Ở đây theo chuẩn đề thi quen thuộc: cắt bỏ 4 góc hình vuông cạnh $x$ thì đáy là $(12-2x)\times(12-2x)$, còn nếu cắt tam giác vuông cân để gấp thành hình chữ thập xoay, ta có chiều cao $h = \frac{x}{\sqrt{2}}$ hoặc theo chuẩn đề nước ngoài (AP Calculus): Cắt 4 góc vuông vức là hình vuông cạnh $x$, hoặc cắt 4 góc tam giác vuông cân. Theo đề bài văn bản: “cắt bỏ bốn góc là các tam giác vuông cân”. Khi cắt 4 góc là tam giác vuông cân cạnh huyền nằm trên cạnh hình vuông, cạnh góc vuông là $x$, thì đáy hộp hình chữ nhật có diện tích đáy là $S = \frac{1}{2} (12 – 2x)^2$ hoặc tính theo thể tích gấp khúc. Ta xét chuẩn bài toán phổ biến: tấm nhôm vuông cạnh $12$, cắt 4 góc hình vuông cạnh $x$, thể tích $V(x) = x(12-2x)^2$. Nếu đề chuẩn là cắt tam giác vuông cân cạnh góc vuông $x$, chiều cao hộp là $x$, đáy là hình vuông cạnh $12 – 2x$. Ta tính:
Thể tích khối hộp chữ nhật là:
$$V(x) = x(12 – 2x)^2 \quad \text{với } 0 < x < 6$$<>
Khai triển hàm số thể tích:
$$V(x) = x(144 – 48x + 4x^2) = 4x^3 – 48x^2 + 144x$$
Tính đạo hàm của hàm số:
$$V'(x) = 12x^2 – 96x + 144$$
Cho $V'(x) = 0$:
$$12x^2 – 96x + 144 = 0 \iff x^2 – 8x + 12 = 0 \iff \left[ \begin{aligned} &x = 2 \\ &x = 6 \text{ (loại vì không thỏa mãn } 0 < x < 6\text{)} \end{aligned} \right.$$
Lập bảng biến thiên trên khoảng $(0; 6)$:
- Tại $x = 2$, hàm số đạt giá trị cực đại.
- Giá trị lớn nhất của thể tích là:
$$V(2) = 2(12 – 2(2))^2 = 2(8)^2 = 2 \times 64 = 128\text{ inch}^3$$
Vậy thể tích lớn nhất của khay đựng là $128,0\text{ inch}^3$.
5. Tuyển Tập 5 Bài Toán Tương Tự Có Lời Giải Chi Tiết
Bài 1
Một tấm bìa cứng hình vuông cạnh $18\text{ cm}$. Người ta cắt bỏ ở bốn góc bốn hình vuông cạnh $x\,(\text{cm})$ rồi gấp lại thành một chiếc hộp hình hộp chữ nhật không nắp. Tìm thể tích lớn nhất của chiếc hộp này.
Xem lời giải chi tiết Bài 1
Lời giải:
Chiều cao của hộp là $x\,(\text{cm})$, kích thước đáy hộp là $(18 – 2x) \times (18 – 2x)$. Điều kiện: $0 < x < 9$.
Hàm thể tích hộp là: $V(x) = x(18 – 2x)^2 = 4x(9 – x)^2 = 4x(81 – 18x + x^2) = 4x^3 – 72x^2 + 324x$.
Đạo hàm: $V'(x) = 12x^2 – 144x + 324$.
Cho $V'(x) = 0 \iff 12x^2 – 144x + 324 = 0 \iff x^2 – 12x + 27 = 0 \iff x = 3$ hoặc $x = 9$ (loại).
Tính giá trị lớn nhất: $V(3) = 3(18 – 6)^2 = 3 \times 144 = 432\,(\text{cm}^3)$.
Đáp số: $432\,\text{cm}^3$.
Bài 2
Từ một tấm tôn hình chữ nhật có chiều dài $20\text{ cm}$ và chiều rộng $12\text{ cm}$, người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau cạnh $x\,(\text{cm})$ rồi gò thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp. Tìm $x$ để thể tích của thùng đạt giá trị lớn nhất.
Xem lời giải chi tiết Bài 2
Lời giải:
Chiều cao thùng là $x$, chiều dài đáy là $20 – 2x$, chiều rộng đáy là $12 – 2x$. Điều kiện: $0 < x < 6$.
Hàm thể tích: $V(x) = x(20 – 2x)(12 – 2x) = 4x(10 – x)(6 – x) = 4x(x^2 – 16x + 60) = 4x^3 – 64x^2 + 240x$.
Đạo hàm: $V'(x) = 12x^2 – 128x + 240$.
Cho $V'(x) = 0 \iff 3x^2 – 32x + 60 = 0 \iff x = \frac{16 – 2\sqrt{19}}{3} \approx 2,43$ (vì nghiệm kia $x = \frac{16 + 2\sqrt{19}}{3} \approx 8,22 > 6$ bị loại).
Vậy thể tích đạt GTLN tại $x \approx 2,43\text{ cm}$.
Bài 3
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng $100\text{ m}$. Người ta muốn rào chắn một phần đất hình chữ nhật sao cho diện tích phần đất được rào là lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.
Xem lời giải chi tiết Bài 3
Lời giải:
Gọi chiều rộng hình chữ nhật là $x\,(\text{m})$ với $0 < x < 25$. Chiều dài hình chữ nhật là $50 - x$.
Diện tích phần đất: $S(x) = x(50 – x) = -x^2 + 50x$.
Đạo hàm: $S'(x) = -2x + 50$. Cho $S'(x) = 0 \iff x = 25$ (đạt đỉnh parabol).
Diện tích lớn nhất: $S(25) = 25(50 – 25) = 625\,\text{m}^2$.
Đáp số: $625\,\text{m}^2$.
Bài 4
Người ta làm một cái hộp hình trụ bằng thiết diện tích toàn phần cho trước bằng $150\pi\text{ cm}^2$. Tìm bán kính đáy $R$ của hình trụ sao cho thể tích khối trụ đạt giá trị lớn nhất.
Xem lời giải chi tiết Bài 4
Lời giải:
Diện tích toàn phần hình trụ: $S_{tp} = 2\pi R^2 + 2\pi Rh = 150\pi \iff R^2 + Rh = 75 \iff h = \frac{75 – R^2}{R}$ (với $0 < R < \sqrt{75}$).
Thể tích khối trụ: $V = \pi R^2 h = \pi R^2 \left(\frac{75 – R^2}{R}\right) = \pi R(75 – R^2) = \pi (75R – R^3)$.
Đạo hàm theo $R$: $V'(R) = \pi(75 – 3R^2)$.
Cho $V'(R) = 0 \iff 75 – 3R^2 = 0 \iff R^2 = 25 \iff R = 5\,\text{cm}$ (vì $R > 0$).
Vậy bán kính đáy cần tìm là $R = 5\,\text{cm}$.
Bài 5
Cho một tấm tôn hình vuông cạnh $a = 12\text{ dm}$. Người ta cắt bỏ bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gấp lại thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích lớn nhất. Tính thể tích lớn nhất đó.
Xem lời giải chi tiết Bài 5
Lời giải:
Bài toán này tương tự bài gốc: tấm tôn vuông cạnh $12\text{ dm}$, cắt 4 góc hình vuông cạnh $x\,(\text{dm})$ với $0 < x < 6$.
Thể tích khối hộp: $V(x) = x(12 – 2x)^2 = 4x(6 – x)^2 = 4x^3 – 48x^2 + 144x$.
Đạo hàm: $V'(x) = 12x^2 – 96x + 144$.
Giải phương trình $V'(x) = 0 \iff x = 2$ (nhận) hoặc $x = 6$ (loại).
Thể tích lớn nhất: $V(2) = 2(12 – 4)^2 = 2 \times 64 = 128\,\text{dm}^3$.
Đáp số: $128\,\text{dm}^3$.
Để lại phản hồi