Một cơ sở chuyên nuôi tôm thương phẩm tại Bạc Liêu cung cấp cho các thương lái. Qua khảo sát, cơ sở nhận thấy: Nếu bán với giá $120$ nghìn đồng/kg thì mỗi tuần có $60$ thương lái đặt mua và mỗi thương lái mua trung bình $250\text{ kg}$

Một cơ sở chuyên nuôi tôm thương phẩm tại Bạc Liêu cung cấp cho các thương lái. Qua khảo sát, cơ sở nhận thấy: Nếu bán với giá $120$ nghìn đồng/kg thì mỗi tuần có $60$ thương lái đặt mua và mỗi thương lái mua trung bình $250\text{ kg}$. Cứ tăng giá $4$ nghìn đồng/kg thì số thương lái mua hàng giảm đi $3$ và mỗi thương lái mua ít hơn mức trung bình $10\text{ kg}$; ngược lại, cứ giảm giá $4$ nghìn đồng/kg thì số thương lái tăng thêm $3$ và mỗi thương lái mua nhiều hơn mức trung bình $10\text{ kg}$. Biết rằng chi phí nuôi trồng và thu hoạch là $70$ nghìn đồng/kg. Để lợi nhuận thu được hàng tuần là lớn nhất thì cơ sở cần bán với giá mỗi kg tôm là bao nhiêu nghìn đồng?

2. Dạng toán và chủ đề liên quan

• Dạng toán: Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong bài toán kinh tế thực tế.
• Chuyên đề: Khảo sát hàm số – Toán học lớp 12 (Chương trình GDPT mới).
• Kiến thức bổ trợ: Thiết lập hàm số bậc ba, tính đạo hàm bậc nhất, bảng biến thiên và xét bài toán tối ưu trên tập số nguyên $\mathbb{Z}$.

3. Phương pháp giải và lý thuyết cần nhớ

1. Đặt ẩn phụ thích hợp: Gọi $x$ là số lần thay đổi giá bán (mỗi lần tăng/giảm $4$ nghìn đồng/kg), với điều kiện thực tế để số lượng thương lái và sản lượng mua mỗi người đều dương.
2. Xác định các yếu tố theo ẩn $x$:
   • Giá bán mỗi kg tôm: $P(x) = 120 + 4x$ (nghìn đồng/kg).
   • Lợi nhuận trên mỗi kg: $\pi(x) = P(x) – C = (120 + 4x) – 70 = 50 + 4x$ (nghìn đồng/kg).
   • Số thương lái đặt mua: $N(x) = 60 – 3x$ (người).
   • Khối lượng tôm mỗi thương lái mua: $Q(x) = 250 – 10x$ (kg).
   • Tổng khối lượng tôm bán ra: $M(x) = N(x) \cdot Q(x) = (60 – 3x)(250 – 10x)$ (kg).
3. Hàm tổng lợi nhuận:$$L(x) = \pi(x) \cdot M(x) = (50 + 4x)(60 – 3x)(250 – 10x)$$
4. Tìm cực trị: Tính đạo hàm $L'(x)$, giải phương trình $L'(x) = 0$, lập bảng biến thiên hoặc so sánh các giá trị nguyên lân cận điểm cực trị để tìm giá trị mang lại lợi nhuận lớn nhất.

4. Lời giải chi tiết bài toán gốc trong ảnh chụp

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện

Gọi $k$ là số lần thay đổi giá bán (mỗi bước $4$ nghìn đồng/kg). Nếu $k > 0$ là tăng giá, $k < 0$ là giảm giá.

Điều kiện thực tế để số thương lái và lượng tôm mỗi lái mua là dương:$$\begin{cases} 60 – 3k > 0 \\ 250 – 10k > 0 \end{cases} \iff k < 20$$Đồng thời, giá bán phải lớn hơn chi phí vốn $70$ nghìn đồng/kg:$$120 + 4k > 70 \iff 4k > -50 \iff k > -12{,}5$$Do đó $-12{,}5 < k < 20$.

Bước 2: Thiết lập hàm mục tiêu lợi nhuận

Theo giả thiết, tại mức thay đổi $k$ bước giá:

• Giá bán $1\text{ kg}$ tôm là: $P(k) = 120 + 4k$ (nghìn đồng).
• Lợi nhuận thu được trên mỗi kg là: $120 + 4k – 70 = 50 + 4k$ (nghìn đồng).
• Số lượng thương lái là: $N(k) = 60 – 3k$ (thương lái).
• Số kg tôm mỗi thương lái mua trung bình: $Q(k) = 250 – 10k$ (kg).
• Tổng lượng tôm tiêu thụ mỗi tuần:$$M(k) = (60 – 3k)(250 – 10k) = 3(20 – k) \cdot 10(25 – k) = 30(k^2 – 45k + 500)\text{ (kg)}$$

Tổng lợi nhuận cơ sở thu được mỗi tuần là:$$L(k) = (50 + 4k) \cdot M(k) = 2(25 + 2k) \cdot 30(k^2 – 45k + 500) = 60(2k + 25)(k^2 – 45k + 500)$$Khai triển biểu thức trong ngoặc:$$g(k) = (2k + 25)(k^2 – 45k + 500) = 2k^3 – 90k^2 + 1000k + 25k^2 – 1125k + 12500 = 2k^3 – 65k^2 – 125k + 12500$$

Bước 3: Khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất

Xét hàm số $g(k) = 2k^3 – 65k^2 – 125k + 12500$ trên khoảng $(-12{,}5; 20)$:

Ta có đạo hàm:$$g'(k) = 6k^2 – 130k – 125$$Giải phương trình đạo hàm bằng $0$:$$6k^2 – 130k – 125 = 0 \iff k = \frac{130 \pm \sqrt{(-130)^2 – 4 \cdot 6 \cdot (-125)}}{12} = \frac{65 \pm 5\sqrt{199}}{6}$$Ta tính được hai nghiệm:$$k_1 = \frac{65 – 5\sqrt{199}}{6} \approx -0{,}922 \in (-12{,}5; 20)$$$$k_2 = \frac{65 + 5\sqrt{199}}{6} \approx 22{,}59 \notin (-12{,}5; 20)$$

Vì $g'(k) > 0$ khi $k < k_1$ và $g'(k) < 0$ khi $k_1 < k < k_2$, nên hàm số đạt cực đại duy nhất tại $k_1 \approx -0{,}922$.

Bước 4: Xét bài toán thực tế

Do quy luật tăng/giảm theo từng bước $4$ nghìn đồng/kg gắn với việc số thương lái biến thiên theo các số nguyên đơn vị (giảm/tăng $3$ lái), ta xét hai giá trị nguyên lân cận của $k_1 \approx -0{,}922$ là $k = -1$ và $k = 0$:

• Với $k = 0$: Giá bán $120$ nghìn đồng/kg.$$L(0) = 50 \times 60 \times 250 = 750\,000\text{ (nghìn đồng)} = 750\text{ triệu đồng.}$$
• Với $k = -1$: Giảm giá $4$ nghìn đồng/kg, giá bán là $120 – 4 = 116$ nghìn đồng/kg.
  • Lợi nhuận mỗi kg: $50 + 4(-1) = 46$ nghìn đồng.
  • Số thương lái: $60 – 3(-1) = 63$ thương lái.
  • Lượng mua mỗi lái: $250 – 10(-1) = 260\text{ kg}$.
  • Tổng lợi nhuận: $L(-1) = 46 \times 63 \times 260 = 753\,480\text{ (nghìn đồng)} = 753{,}48\text{ triệu đồng.}$
• Với $k = -2$: Giá bán $112$ nghìn đồng/kg.$$L(-2) = 42 \times 66 \times 270 = 748\,440\text{ (nghìn đồng)} = 748{,}44\text{ triệu đồng.}$$

(Ghi chú: Nếu xét giá bán liên tục, mức giá tối ưu là $P = 120 + 4(-0{,}922) \approx 116{,}31$ nghìn đồng/kg).

Kết luận: Để lợi nhuận hàng tuần lớn nhất, cơ sở cần bán với giá là $116$ nghìn đồng/kg (hoặc xấp xỉ $116{,}3$ nghìn đồng/kg nếu định giá liên tục).

5. Tuyển tập 5 bài toán tương tự rèn luyện có lời giải chi tiết