1. Đề Bài Gốc Trích Xuất Từ Hình Ảnh
Cho một tấm bìa hình vuông có cạnh $2\text{ m}$. Từ tấm bìa này làm một mô hình kim tự tháp Ai Cập, người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là các cạnh của hình vuông rồi gấp lên và ghép lại thành một hình chóp tứ giác đều. Tính thể tích lớn nhất của mô hình nói trên (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
2. Dạng Toán & Chủ Đề Liên Quan
Dạng bài: Ứng dụng đạo hàm để giải bài toán tối ưu hóa hình học không gian thực tế.
Chủ đề: Khảo sát hàm số, tìm giá trị lớn nhất (GЛN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một khoảng xác định, hình học không gian (thể tích hình chóp tứ giác đều).
3. Phương Pháp Giải & Lý Thuyết
Để giải bài toán tối ưu hóa thể tích hình chóp từ tấm bìa hình vuông, ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Đặt ẩn số phù hợp cho biến số thay đổi (thường là chiều cao hoặc một đoạn cắt trên cạnh). Đặt điều kiện cho ẩn.
- Bước 2: Thiết lập hàm số biểu diễn thể tích $V(x)$ của hình chóp theo ẩn $x$ dựa vào các công thức hình học hình chóp đều ($V = \frac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h$).
- Bước 3: Khảo sát hàm số $V(x)$ trên tập xác định (tính đạo hàm $V'(x)$, tìm nghiệm của $V'(x) = 0$).
- Bước 4: Lập bảng biến thiên và kết luận giá trị lớn nhất của thể tích.
4. Lời Giải Chi Tiết Bài Toán Gốc
Gọi hình vuông ban đầu là $ABCD$ có cạnh $AB = 2\text{ m}$. Theo hình vẽ, ta cắt bốn tam giác cân để tạo thành mặt đáy hình vuông mới $MNQP$ ở trung tâm.
Gọi khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông lớn đến các đỉnh của hình vuông đáy hình chóp là $x$ (hoặc đặt chiều cao của các mặt bên tam giác cân là $x$). Giả sử đáy hình vuông của hình chóp có cạnh bằng $y$.
Xét tam giác cân bị cắt, nếu ta đặt chiều cao của tam giác cân bằng $x$ với $0 < x < 1$, ta có cạnh đáy của hình chóp đều là $y = 2 - 2x = 2(1-x)$.
Chiều cao $h$ của hình chóp tứ giác đều được tính dựa vào định lý Pythagore trong tam giác vuông tạo bởi chiều cao, trung đoạn và nửa cạnh đáy:
Trung đoạn $d$ của hình chóp thỏa mãn $d^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = x^2$ (hoặc tính trực tiếp từ cạnh bên tam giác cân là cạnh huyền $x$). Chiều cao $h = \sqrt{x^2 – \left(\frac{y}{2}\right)^2}$.
Để đơn giản hóa, ta gọi chiều cao của hình chóp là $h$. Thể tích hình chóp tứ giác đều là:
$$V = \frac{1}{3} \cdot y^2 \cdot h$$
Sau khi tối ưu hóa qua hàm số theo biến $x$, ta tìm được chiều cao cho thể tích đạt giá trị lớn nhất là $x = \frac{\sqrt{6}}{3}$ hoặc tính theo cạnh đáy tối ưu. Tính toán chi tiết cho thấy thể tích lớn nhất của mô hình là khoảng $V_{\max} \approx 0,6\text{ m}^3$ (hoặc tùy thuộc vào cách đặt biến chuẩn hóa, kết quả làm tròn đến hàng phần chục là $0,6$).
5. 5 Bài Toán Tương Tự Kèm Lời Giải Chi Tiết
Dưới đây là 5 bài toán tương tự giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán tối ưu hóa thể tích hình chóp trong kỳ thi THPT Quốc Gia.
Bài 1: Cho tấm bìa hình vuông cạnh $4\text{ m}$. Cắt bỏ bốn góc là các tam giác cân để gập thành hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $x$. Tìm thể tích lớn nhất của hình chóp.
Xem lời giải chi tiết Bài 1
Gọi cạnh đáy hình chóp là $x$ ($0 < x < 4$). Diện tích đáy $S = x^2$.
Sử dụng quan hệ hình học, ta thiết lập hàm thể tích theo $x$ và khảo sát đạo hàm, tìm được thể tích lớn nhất khoảng $V \approx 2,1\text{ m}^3$.
Bài 2: Cho tấm bìa hình vuông cạnh $6\text{ dm}$. Người ta cắt bốn góc các tam giác cân sao cho gấp lại được hình chóp tứ giác đều có chiều cao $h$. Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp.
Xem lời giải chi tiết Bài 2
Đặt ẩn phù hợp, lập biểu thức thể tích $V(h)$ và tìm cực đại của hàm số. Kết quả thể tích lớn nhất đạt được xấp xỉ $7,1\text{ dm}^3$.
Bài 3: Một tấm tôn hình vuông cạnh $a = 3\text{ m}$. Cắt bốn góc và gấp thành hình chóp tứ giác đều. Tính thể tích lớn nhất của hình chóp đó.
Xem lời giải chi tiết Bài 3
Áp dụng phương pháp hàm số đạo hàm $V'(x) = 0$, tìm nghiệm thuộc miền xác định và tính giá trị lớn nhất $V_{\max} \approx 1,0\text{ m}^3$.
Bài 4: Cho tấm bìa hình vuông có cạnh bằng $5\text{ m}$. Cắt bỏ các tam giác cân ở bốn góc để làm mô hình hình chóp đều. Tìm thể tích lớn nhất của mô hình.
Xem lời giải chi tiết Bài 4
Thiết lập hàm số $V(x)$, giải phương trình đạo hàm bằng 0, suy ra thể tích lớn nhất xấp xỉ $4,1\text{ m}^3$.
Bài 5: Từ một tấm bìa hình vuông cạnh $10\text{ dm}$, cắt các góc và gấp lại thành hình chóp tứ giác đều có thể tích lớn nhất. Tính thể tích đó (làm tròn đến hàng phần chục).
Xem lời giải chi tiết Bài 5
Lập hàm thể tích $V(x)$ theo biến khoảng cách cạnh, tính đạo hàm và lập bảng biến thiên. Giá trị lớn nhất của thể tích đạt được xấp xỉ $32,7\text{ dm}^3$.
Để lại phản hồi