📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $BC = a$, $CA = b$, $AB = c$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Trong chương trình Toán 10, chủ đề hệ thức lượng trong tam giác kế thừa trực tiếp các kiến thức nền tảng về giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lý côsin là công thức trọng tâm giúp liên hệ bình phương một cạnh với hai cạnh còn lại và côsin của góc xen giữa.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
1. Định lý côsin (Law of Cosines): Trong tam giác $ABC$ bất kỳ có độ dài các cạnh đối diện các góc $A, B, C$ lần lượt là $a, b, c$:
- $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A$
- $b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos B$
- $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C$
2. Hệ quả (Tính côsin của các góc trong tam giác):
$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}; \quad \cos B = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac}; \quad \cos C = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}$$
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Theo định lý côsin trong tam giác $ABC$, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với côsin của góc xen giữa chúng.
Do đó, đối với cạnh $a = BC$ và góc xen giữa $\widehat{A}$, ta có đẳng thức đúng là:
$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A$$
Xét các phương án:
- Phương án A: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A$ (chính xác).
- Phương án B: Sai vì dấu đứng trước $2bc \cos A$ phải là dấu trừ ($-$).
- Phương án C: Sai vì sử dụng hàm $\sin A$ thay vì $\cos A$.
- Phương án D: Sai vì thiếu hệ số $2$ và sai dấu.
👉 Chọn đáp án: A
Để vận dụng linh hoạt các bài toán mức độ nhận biết và thông hiểu, học sinh cần ghi nhớ thêm việc tính giá trị lượng giác các góc đặc biệt khi thay trực tiếp vào hệ thức lượng.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Bài tập 1: Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $BC = a, CA = b, AB = c$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Theo định lý sin trong tam giác $ABC$, ta có:
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$
Do đó, $\frac{a}{\sin A} = 2R$ là mệnh đề đúng.
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 2: Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh là $a, b, c$. Công thức tính diện tích $S$ của tam giác nào sau đây là đúng?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Công thức tính diện tích tam giác theo tích hai cạnh và sin của góc xen giữa là:
$$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B$$
Vậy phương án B là công thức chính xác.
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 3: Cho tam giác $ABC$ có ba cạnh $a, b, c$ và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ được tính theo công thức nào dưới đây?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Từ định lý sin, ta có $\sin C = \frac{c}{2R}$. Thay vào công thức diện tích $S = \frac{1}{2}ab \sin C$ ta được:
$$S = \frac{1}{2}ab\cdot \frac{c}{2R} = \frac{abc}{4R}$$
Do đó, phương án C là khẳng định đúng.
👉 Chọn đáp án: C
Bài tập 4: Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $BC = a, CA = b, AB = c$. Biểu thức nào sau đây dùng để tính $\cos A$?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Từ định lý côsin: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A$, ta biến đổi:
$$2bc \cos A = b^2 + c^2 – a^2 \iff \cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$$
Phương án B là công thức tính $\cos B$, phương án D là công thức tính $\cos C$.
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 5: Cho tam giác $ABC$ có cạnh $BC = 8$ và góc $\widehat{A} = 30^\circ$. Bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABC$, ta có:
$$\frac{a}{\sin A} = 2R \implies R = \frac{a}{2\sin A}$$
Thay số với $a = BC = 8$ và $\widehat{A} = 30^\circ$ (với $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$):
$$R = \frac{8}{2 \cdot \sin 30^\circ} = \frac{8}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 8$$
👉 Chọn đáp án: B
Để lại phản hồi