Giả sử tốc độ tăng trưởng của một quần thể muỗi thoả mãn công thức
${N^{\prime}(t)=0,2 N(t), 0 \leq t \leq 5,
}$ trong đó ${t}$ là thời gian tính theo ngày, ${N(t)}$ là số cá thể muỗi tại thời điểm ${t}$. Biết rằng ban đầu quần thể muỗi có 2000 cá thể. Đặt ${y(t)=\ln N(t), 0 \leq t \leq 5}$. Chứng tỏ rằng ${y^{\prime}(t)=0,2}$. Từ đó, tìm được ${N(t)}$ với ${0 \leq t \leq 5}$.
Khí đó, hãy tìm số lượng cá thể của quần thể muỗi sau 3 ngày (kết quả làm tròn đến hàng trăm).
Lời giải
Trả lời: 3600
${y^{\prime}(t)=[\ln N(t)]^{\prime}=\dfrac{N^{\prime}(t)}{N(t)}=\dfrac{0,2 N(t)}{N(t)}=0,2}$.
Suy ra ${y(t)=\int y^{\prime}(t) {d} t=\int 0,2 {d} t=0,2 t+C}$.
Do đó, ${\ln N(t)=0,2 t+C}$, suy ra ${N(t)=e^{0,2 t+C}=C_0 \cdot e^{0,2 t}}$ (với ${C_0=e^C}$ ).
Ta có ${N(0)=2000}$, suy ra ${C_0=2000}$, suy ra ${N(t)=2000 \cdot e^{0,2 t}, 0 \leq t \leq 5}$.
${N(3)=2000 \cdot e^{0,2 \cdot 3} \approx 3600}$ (cá thể).